[論文レビュー] On homometric sets in graphs

Maria Axenovich, Lale Özkahya|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2012

Graph Labeling and Dimension Problems被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グラフにおける同型距離頂点集合の最大サイズに関する境界を改善し、木および有界直径のグラフに対して新たな下界を導出する。任意のn頂点からなる木Tに対して、h(T) ≥ n^{1/3} − 1が成り立ち、直径dのグラフに対してはh(G) ≥ c n^{1/(2d−2)}が成り立つことが示され、グラフ理論における同型集合問題に関する先行研究を顕著に進展させる。

ABSTRACT

For a vertex set $S\subseteq V(G)$ in a graph $G$, the {\em distance multiset}, $D(S)$, is the multiset of pairwise distances between vertices of $S$ in $G$. Two vertex sets are called {\em homometric} if their distance multisets are identical. For a graph $G$, the largest integer $h$, such that there are two disjoint homometric sets of order $h$ in $G$, is denoted by $h(G)$. We slightly improve the general bound on this parameter introduced by Albertson, Pach and Young (2010) and investigate it in more detail for trees and graphs of bounded diameter. In particular, we show that for any tree $T$ on $n$ vertices $h(T) \geq \sqrt[3]{n}$ and for any graph $G$ of fixed diameter $d$, $h(G) \geq cn^{1/ (2d-2)}$.

研究の動機と目的

• グラフGにおける2つの頂点集合が同型である場合の最大サイズh(G)に関する一般の上界および下界を改善すること。
• 特に木、スパイン、キャタピラー、ヘアコームを含む特定のグラフクラスにおけるh(G)を調査すること。
• 直径、辺数、頂点次数分布などのグラフパラメータとh(G)との間の数量的関係を確立すること。
• ユークリッド距離集合および整数同型集合に関する既知の結果を、グラフ論的設定へと拡張すること。

提案手法

• 特にスパイン、キャタピラー、ヘアコームに注目した、木の構造的分解を用いた同型集合の新規構成法を導入する。
• 多重集合の差分や同型に基づく構成法を用いて、同型ペアを生成するため、数論的およびグラフ論的道具を適用する。
• 次数に基づく頂点分割および距離に基づく分割（例えば、葉からの距離による分割）を用いて、h(T)の下界を導出する。
• 「悪い」頂点（次数≥3）の概念とその分布を用い、構造的補題を介して同型集合のサイズを制限する。
• 極値的グラフ理論の技法を用い、二項係数を含む不等式を用いて、直径dおよび辺数eの観点から境界を導出する。
• 既知の整数多重集合における同型集合の結果（例えば、U+VおよびU−Vの構成）を、グラフにおける構成を導く手がかりとして活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n個の頂点をもつ木におけるh(G)の最良の可能な下界は、nの関数としてどのように表せるか？
• RQ2 グラフの直径dが、互いに素な同型集合の最大サイズにどのように影響を与えるか？
• RQ3 辺密度および次数などの構造的パラメータを用いて、h(G)の改善された下界を導出可能か？
• RQ4 スパイン、キャタピラー、またはヘアコームなどの特定の木クラスにおいて、h(T)がnの非自明な関数によって下から抑えられるのはどのような場合か？
• RQ5 標準的な同型集合構成法が失敗するグラフ族は存在するか？もしそうであるなら、そのようなケースはどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 任意のn頂点からなる木Tに対して、h(T) ≥ n^{1/3} − 1が成り立ち、これにより以前の境界が顕著に改善される。
• 固定された直径dを持つグラフに対しては、ある正の定数c > 0に対してh(G) ≥ c n^{1/(2d−2)}が成り立ち、十分に大きなnに対して成立する。
• キャタピラーに対しては、h(R_n) ≥ n/6が成り立つ。ヘアコームに対しては、h(H_n) ≥ √n / 2が成り立つ。
• k本の脚をもつn頂点のスパインに対しては、k ≥ 5のときh(S_{n,k}) ≥ (1/4 + 3/(8k−12))nが成り立ち、k = 3およびk = 4の場合は正確な値が与えられる。
• n/2本の脚をもつスパインに対しては、h(S_{n,n/2}) = (n+2)/4であり、特定の対称的な3本脚スパインに対してはh(T) = n/2が成り立つ。
• 「悪い」頂点（次数≥3）の数がo(√n)である場合、または葉の数が大きい場合、直径が小さい木であってもh(T) = Ω(√n)が成り立つ。