[論文レビュー] On homotopical and homological $Z_n$-sets

Тарас Банах, Robert Cauty+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

この論文は代数的位相幾何学的手法を用いてホモロジカル $Z_n$-集合を導入し、ホモトピー的 $Z_n$-集合との同値性をホイッチャー同型定理により $
\mathrm{LC}^{[}1\u0001]$-空間で確立する。これらの集合に対して乗法、除法、$k$-乗根の公式を導出し、距離的分離可能 $
\mathrm{LC}^{[}n\u0001]$-空間におけるホモロジカル $Z_n$-点の集合が $G_\delta$-集合であることを証明する。さらに、無限次元位相幾何学におけるコhomological次元および拡張次元への応用も示す。

ABSTRACT

We survey some properties of homotopical and homological $Z_n$-sets in topological spaces.

研究の動機と目的

• 相対ホモロジー群を用いて $
  \mathrm{LC}^{[}n\u0001]$-空間におけるホモロジカル $Z_n$-集合を特徴付ける。
• ホイッチャー同型定理を用いて $
  \mathrm{LC}^{[}1\u0001]$-空間におけるホモトピー的 $Z_n$-集合とホモロジカル $Z_n$-集合との同値性を確立する。
• クネンフの公式を用いてホモロジカル $Z_n$-集合に対する代数的公式（乗法、除法、$k$-乗根）を導出する。
• 距離的分離可能な $
  \mathrm{LC}^{[}n\u0001]$-空間におけるホモロジカル $Z_n$-点の集合が $G_\delta$-集合であることを証明する。
• クラス $\mathcal{Z}_n^\mathbb{Z}$ および $\overline{\mathcal{Z}}_n^\mathbb{Z}$ の位相的性質、特にコhomological次元および拡張次元を調査する。

提案手法

• 閉集合 $A \subset X$ がすべての $k < n+1$ およびすべての開集合 $U \subset X$ に対して $H_k(U, U \setminus A) = 0$ を満たすとき、$A$ をホモロジカル $Z_n$-集合と定義する。
• $\u0001\mathrm{LC}^{[}1\u0001]$-空間におけるホモトピー的 $Z_n$-集合とホモロジカル $Z_n$-集合との関係をホイッチャー同型定理を用いて関係づける。
• クネンフの公式を用いてホモロジカル $Z_n$-集合に対する乗法、除法、$k$-乗根の公式を導出する。
• 不可約ホモロジカル障壁およびシュタインケの分離次元 $\mathsf{t}(\cdot)$ の概念を用いて、点ごとの条件による $Z_n$-集合の特徴付けを行う。
• ボッケシュタイン理論を適用し、ある集合が $G$-ホモロジカル $Z_n$-集合であることと、$G$ のボッケシュタイン族 $\sigma(G)$ に属するすべての $H$ に対して $H$-ホモロジカル $Z_n$-集合であることとは同値であることを示す。
• ホモロジカル $Z_n$-集合 $A$ を空間 $X$ に、ホモロジカル $Z_m$-集合 $B$ を空間 $Y$ にとったとき、その直積 $A \times B$ が $X \times Y$ においてホモロジカル $Z_{n+m+1}$-集合であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{LC}^{[}1\mathrm{]}$-空間におけるホモトピー的 $Z_2$-集合が $n > 2$ に対してホモロジカル $Z_n$-集合であるのはいつか？
• RQ2 ホモロジー群にどのような代数的条件がホモロジカル $Z_n$-集合を特徴付けるか？
• RQ3 クラス $\mathcal{Z}_n^\mathbb{Z}$ および $\overline{\mathcal{Z}}_n^\mathbb{Z}$ は直積、除法、$k$-乗根に関してどのように振る舞うか？
• RQ4 任意の係数群 $G$ に対して、ホモロジカル $Z_n$-集合とコhomological次元 $\dim_G(X)$ の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 局所コンパクトな ANR 空間 $X$ が $C$-空間でなかったり、非可縮な CW 複体 $L$ に対して拡張次元 $\leq L$ を満たさないのはどのような条件下か？

主な発見

• Tychonov 空間である $
  \mathrm{LC}^{[}1\u0001]$-空間におけるホモトピー的 $Z_2$-集合は、ホモトピー的 $Z_n$-集合であることと、ホモロジカル $Z_n$-集合であることとは同値である。
• 距離的分離可能な $
  \mathrm{LC}^{[}n\u0001]$-空間 $X$ におけるホモロジカル $Z_n$-点の集合 $\mathcal{Z}_n^\mathbb{Z}(X)$ は $G_\delta$-集合である。
• 局所コンパクトな ANR 空間 $X \in \mathcal{Z}_\infty^\mathbb{Z}$ は $C$-空間ではなく、任意の非可縮な CW 複体 $L$ に対して $\mbox{e-dim}X \not\leq L$ を満たす。
• 乗法定理：$A$ が $X$ におけるホモロジカル $Z_n$-集合であり、$B$ が $Y$ におけるホモロジカル $Z_m$-集合であるとき、$A \times B$ は $X \times Y$ においてホモロジカル $Z_{n+m+1}$-集合である。
• 有限分離次元 $d = \mathsf{t}(A)$ を持つ閉集合 $A \subset X$ が $G$-ホモロジカル $Z_n$-集合であることと、各点 $a \in A$ が $X$ において $G$-ホモロジカル $Z_{n+d}$-点であることとは同値である。
• 非可換分離次元 $\mathsf{trt}(A)$ を持つ閉集合 $A \subset X$ が $G$-ホモロジカル $Z_\infty$-集合であることと、各点 $a \in A$ が $X$ において $G$-ホモロジカル $Z_\infty$-点であることとは同値である。