[論文レビュー] On homotopy Lie bialgebroids

Denis Bashkirov, Alexander A. Voronov|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、重み付き多様体上のハミルトニアン的アプローチを用いて、$L_{\nu}$-バイゲーブロイドをホモトピー論的一般化として導入する。$L_{\nu}$-準同型は、シフトされた余接バンドル上のハミルトニアンの整合性により定義され、クレフチェンコの$L_{\nu}$-バイゲーブロイドの概念を幾何的設定に拡張し、ポisson幾何における高次シンプレクティック構造の導来幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

A well-known result of A. Vaintrob characterizes Lie algebroids and their morphisms in terms of homological vector fields on supermanifolds. We give an interpretation of Lie bialgebroids and their morphisms in terms of odd symplectic dg-manifolds, building on the approach of D. Roytenberg. This extends naturally to the homotopy Lie case and leads to the notion of $L_\infty$-bialgebroids and $L_\infty$-morphisms between them.

研究の動機と目的

• 導来幾何と重み付き多様体を用いて、Lieバイゲーブロイドをホモトピー的Lie（すなわち、$L_{\nu}$）の設定に一般化すること。
• ロイテンベルクのLieバイゲーブロイドに対するハミルトニアン的アプローチを$L_{\nu}$-文脈に拡張すること。
• $L_{\nu}$-バイゲーブロイドの$L_{\nu}$-準同型を、シフトされた余接バンドル上のハミルトニアン関数の整合性により定義すること。
• 点上の特別な場合として、クレフチェンコの$L_{\nu}$-バイゲーブロイドの概念を回復すること。
• 特に$L_{\nu}$-構造の文脈において、導来ポisson幾何における準同型の枠組みを提供すること。

提案手法

• 奇数のシンプレクティックdg多様体上のハミルトニアン的アプローチを用い、$L_{\nu}$-バイゲーブロイドを、Maurer-Cartan方程式を満たす3次元のハミルトニアンによって特徴付ける。
• $V^*[1] \oplus V[1]$上のビッグブラケット構成を適用し、$L_{\nu}$-バイゲーブロイド構造を$\{\chi, \chi\} = 0$の解として符号化する。
• $L_{\nu}$-準同型は、$V[1]$と$W[1]$上の関数代数間の引き戻しおよびテイラー展開写像を介して定義され、ハミルトニアンと整合性を持つように保証する。
• 1次元の微分を持つ滑らかな重み付き多様体の圏を用い、滑らかな関数の代数として対称代数$S(V^*)$を用いる。
• $T^*[2]V[1]$を$V^*[1] \oplus V[1]$と同一視することで、ハミルトニアンを$V[1]$の対称冪上の多重線形作用素として解釈する。
• $L_{\nu}$-代数の代数的定式化として、$\chi \in \prod_{m,n \geq 1} \operatorname{Hom}(S^m(V[1]), S^n(V[-1]))$の3次元作用素で、$\{\chi, \chi\} = 0$を満たすものを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、導来幾何を用いてLieバイゲーブロイドをホモトピー的Lie（すなわち、$L_{\infty}$）の設定に一般化できるか？
• RQ2 $L_{\infty}$-バイゲーブロイド間の$L_{\infty}$-準同型の正しい概念とは何か？
• RQ3 重み付き多様体上のハミルトニアン形式は、$L_{\infty}$-バイゲーブロイドにどのように拡張できるか？
• RQ4 クレフチェンコの$L_{\infty}$-バイゲーブロイドの概念は、点上の特別な場合として$L_{\infty}$-バイゲーブロイドから回復可能か？
• RQ5 ビッグブラケットとMaurer-Cartan方程式は、$L_{\infty}$-バイゲーブロイド構造を符号化するために果たす役割は何か？

主な発見

• この論文は、Maurer-Cartan方程式$\{\chi, \chi\} = 0$を満たす$T^*[2]V[1]$上の3次元ハミルトニアンとして、$L_{\infty}$-バイゲーブロイドを構成し、Lieバイゲーブロイドを一般化する。
• $L_{\infty}$-バイゲーブロイド間の$L_{\infty}$-準同型は、$f: V[1] \to S(W[1])$を満たす準同型として定義され、$\chi_V \circ f^* \circ T = f^* \circ T \circ \chi_W$を満たすことで、ハミルトニアンと整合性を持つ。
• 基底多様体が点であるとき、$L_{\infty}$-バイゲーブロイド構造はクレフチェンコの$L_{\infty}$-バイゲーブロイドの概念に還元される。
• $L_{\infty}$-バイゲーブロイドの代数的定式化は、$\chi \in \prod_{m,n \geq 1} \operatorname{Hom}(S^m(V[1]), S^n(V[-1]))$の3次元作用素で、$\{\chi, \chi\} = 0$を満たすものとして回復され、ビッグブラケットが作用素を符号化する。
• この枠組みは、$L_{\infty}$-バイゲーブロイドとその準同型の導来幾何的解釈を提供し、古典的ポアンカーレ幾何的図像を高次ホモトピー構造へ拡張する。
• この論文は、$L_{\infty}$-バイゲーブロイド設定における準同型の一貫性のある枠組みを確立し、この文脈における$L_{\infty}$-準同型の最初の定義を提示する。