[論文レビュー] On Horowitz and Shelah's Borel maximal eventually different family

David Schrittesser|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ZF集合論において、$Π^{0}_{1}$（有効的に閉じた）最大最終的に異なる族が存在することを、構成的で初等的な証明で示している。これは、HorowitzとShelahによる以前の$Δ^{1}_{1}$（有効的にBorelな）族の結果を改善したものである。手法としては、以前の構成を単純化し、存在記号を反復的に除去するための「ねじり変換」を用いる。この変換は最大性を保ちつつ、定義的複雑度を$Π^{0}_{1}$にまで低下させる。

ABSTRACT

We show there is a closed (in fact effectively closed, i.e., $Π^0_1$) eventually different family (working in ZF or less).

研究の動機と目的

• 従来の結果よりも定義的複雑度が低い、最大最終的に異なる族（medf）の存在を、より単純で初等的な証明で示すこと。
• HorowitzとShelahの$Δ^{1}_{1}$ medfを改善し、$Π^{0}_{1}$（有効的に閉じた）medfを構成することで、より強い位相的および論理的複雑度の結果を得ること。
• 最大最終的に異なる族の複雑度を、$Σ^{0}_{3} \vee Π^{0}_{3}$ から $Π^{0}_{1}$ にまで、最大性を保つ変換によって低下させることの可能性を示すこと。
• HorowitzとShelahが以前に発表したが未証明であった主張を埋めるために、完全な証明を提供すること。

提案手法

• 計算可能全単射 $n \mapsto s_n$ と、関数 $f$ の初期部分列が現れるインデックス集合 $\operatorname{B}(f)$ を用いたレシピに基づき、族 $\mathcal{E}$ を定義する。
• ねじれ条件を満たすことで、スパンニングかつほぼ最終的に異なる性質を持つようにし、初期の medf $\mathcal{E}$ を $\Sigma^{0}_{3} \vee \Pi^{0}_{3}$-定義可能に構成する。
• 「ねじり変換」を適用：各関数 $f$ に対して、$f$ と関連する選択関数 $g_f$ を新しい関数の偶数番目と奇数番目に符号化する関数 $f^*$ を定義する。
• 符号化における量化記号なしの条件を用いて、$\Pi^{0}_{\xi}$-式でメンバー関係を表現することで、元の族が $\Pi^{0}_{\xi+2}$ であるとき、変換後の族 $\mathcal{E}^*$ が $\Pi^{0}_{\xi+1}$-定義可能であることを示す。
• 有限列およびその接頭辞の再帰的符号化を用いて、$h \in \mathcal{E}^*$ である条件を $h(2n)$ と $h(2n+1)$ で表現し、最終的な族が $\Pi^{0}_{1}$ であることを保証する。
• 関数 $f$ が $g = \ddot{e}(f, \operatorname{B}(f))$ に対して再帰的であることを利用し、$\mathcal{E}$ の定義における存在記号を再帰的関係に置き換えることで、複雑度の低下を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大最終的に異なる族を、$\Pi^{0}_{1}$-定義可能なものとして構成することは可能か？（$\Delta^{1}_{1}$-定義可能に限らない。）
• RQ2 最大性を失わず、定義から存在記号を除去することは可能か？
• RQ3 元の Horowitz-Shelah 証明の技術的複雑さを避ける、より単純で初等的な $\Pi^{0}_{1}$ medf の構成は存在するか？
• RQ4 最大性と最終的に異なる性質を保ちつつ、変換によって最大最終的に異なる族の複雑度を体系的に低下させることは可能か？

主な発見

• 論文は、$\Pi^{0}_{1}$-定義可能な最大最終的に異なる族を構成しており、これは HorowitzとShelahの$\Delta^{1}_{1}$構成よりも強い結果である。
• 第3節で定義された族 $\mathcal{E}$ は $\Sigma^{0}_{3} \vee \Pi^{0}_{3}$-定義可能であり、従来のアプローチよりも単純な初期構成を提供する。
• 元の族が $\Pi^{0}_{\xi+2}$ であるとき、ねじった族 $\mathcal{E}^*$ は $\Pi^{0}_{\xi+1}$-定義可能であることが示され、複雑度の反復的低下が可能である。
• $\mathcal{E}$ から $\mathcal{E}^*$ への変換は、すべての関数が $\mathcal{E}^*$ のある要素と無限個の偶数インデックスで一致することを保証することで、最大性と最終的に異なる性質を保つ。
• 最終的な結果、系4.2は、$\Pi^{0}_{1}$ medf の存在を確立しており、HorowitzとShelahが以前に発表したが未証明であった主張を裏付ける。
• 証明はZFにおいて完全に形式的であり、強力な公理を用いず、基本的な再帰理論と有効的位相論に依存している。