[論文レビュー] On hyperbolic cobweb manifolds

Emil Molnár, Jenő Szirmai|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Geometric and Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、拡張反射群と半回転対称性を用いて、切り詰めた完全コクセター直方体の面同士を貼り合わせることで、コンactな双曲的3次元多様体 Cw(6,6,6) を双曲的空間形式として構成する。主な貢献は、体積（約8.29565）、内接球の最大半径（約0.57941）、直径（約3.67268）の明示的計算であり、基本群は3つの生成元と2つの関係式で定義され、無限系列 Cw(2p,2p,2p) の代表的例を提供する。

ABSTRACT

A compact hyperbolic "cobweb" manifold (hyperbolic space form) of symbol $Cw(6,6,6)$ will be constructed in Fig.1,4,5 as a representant of a presumably infinite series $Cw(2p,2p,2p)$ $(3 \le p \in \bN$ natural numbers). This is a by-product of our investigations \cite{MSz16}. In that work dense ball packings and coverings of hyperbolic space $\HYP$ have been constructed on the base of complete hyperbolic Coxeter orthoschemes $\mathcal{O}=W_{uvw}$ and its extended reflection groups $\bG$ (see diagram in Fig.~3. and picture of fundamental domain in Fig.~2). Now $u=v=w=6 (=2p)$. Thus the maximal ball contained in $Cw(6,6,6)$, moreover its minimal covering bal l (so diameter) can also be determined. The algorithmic procedure provides us with the proof of our statements.

研究の動機と目的

• p ≥ 3 に対して無限系列 Cw(2p,2p,2p) の代表例として、コンパクトな双曲的3次元多様体 Cw(6,6,6) を構成すること。
• 双曲幾何と計量計算を用いて、構成された多様体の体積、内接球の最大半径、直径を特定すること。
• 面同士の貼り合わせとペアリング運動を用いて、Cw(6,6,6) の基本群を導出し、3つの生成元と2つの関係式による表現を得ること。
• 密な球詰めと最小被覆の密度を計算し、幾何的不変量を提供すること。
• 完全コクセター直方体とその拡張反射群を用いた、先行研究における双曲的3次元空間における密な球詰めと被覆の結果を一般化すること。

提案手法

• 双曲的完全コクセター直方体 O = Wuvw を用い、二面角 α01 = π/6、α12 = π/6、α23 = π/6 と、他の場所では直角とする。これが基本領域を形成する。
• 極平面 a0 と a3 を用いた切り詰めにより、二重に切り詰めた直方体を生成し、双曲幾何（符号 (+,+,+,-) およびコクセター＝シュレーフリ行列の負の行列式）を保証する。
• 反射 mi と軸 F03F12 のまわりの半回転 h で生成される拡張反射群 G を用い、コクセター＝シュレーフリ図で反射の順序と対称性を符号化する。
• 切り詰めた直方体の面同士を貼り合わせ（グリューピング）して、閉じた多様体 Cw(6,6,6) を形成し、基本群を定義するペアリング運動 s、a1、a2 を用いる。
• ベルトラミ＝カイリー＝クラインモデルにおける頂点間の距離と計量を求めるために、コクセター＝シュレーフリ行列の逆行列 (bij)−1 を用いて双曲的距離を計算する。
• 体積を Kellerhals の公式（Lobachevsky 関数 L(x) を含む）を用いて切り詰めた直方体の体積を計算し、12倍することで全多様体の体積を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 切り詰めた完全コクセター直方体の面同士の貼り合わせにより、双曲的3次元空間の商としてコンパクトな双曲的3次元多様体 Cw(6,6,6) を構成できるか？
• RQ2 得られた多様体 Cw(6,6,6) の正確な幾何的不変量（体積、内接球の最大半径、直径）は何か？
• RQ3 Cw(6,6,6) の基本群は何か？また、貼り合わせプロセスから得られる生成元と関係式による表現はどのように得られるか？
• RQ4 Cw(6,6,6) における密な球詰めと最小被覆の密度は何か？それらは多様体の幾何とどのように関係するか？
• RQ5 Cw(6,6,6) の構成を、p ≥ 3 に対して無限系列 Cw(2p,2p,2p) に一般化できるか？一貫した幾何的・位相的性質が保たれるか？

主な発見

• コブウェブ多様体 Cw(6,6,6) の体積は約8.29565であり、Kellerhals の公式を用いて、基本的な切り詰めた直方体 W666 の体積を12倍することで計算された。
• Cw(6,6,6) に内接可能な最大の球の半径は約0.57941であり、切り詰め点 Q から面中心 F12 までの距離から導出された。
• Cw(6,6,6) の直径（最小被覆球の半径の2倍）は約3.67268であり、被覆半径は約1.83634である。
• Cw(6,6,6) の基本群は、3つの生成元 a1、a2、s と2つの関係式（110文字の関係式 1 = a1a1s⁻¹a1sa⁻¹₂a⁻¹₂sa⁻¹₂s⁻¹ と対称な38文字の関係式）で表現され、1階ホモロジー群 H₁ ≅ Z₃ × Z₁₂ × Z₆ である。
• Cw(6,6,6) における最も密な球詰めの密度は約0.10503、最小被覆の密度は約6.05670 であり、球の体積と多様体の体積の比から計算された。
• 多様体 Cw(6,6,6) は、p ≥ 3 に対しておそらく無限系列 Cw(2p,2p,2p) の代表的例であり、二面角が π/(2p) の対称的な面貼り合わせによる切り詰め直方体を用いて構成される。