[論文レビュー] On hyperbolic cohomology classes

Michael Brunnbauer, D. Kotschick|ArXiv.org|Aug 11, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、単体的複体における双曲的コホモロジー類のホモロジー的不変性を確立し、その存在が基本群の非アメーヌブル性と関連することを示している。2次元において、非トロイダル類が双曲的でなくてもよいこと、および、シンプレクティック形式が非トロイダルだが双曲的でない、明示的なシンプレクティック4次元多様体の構成により、開かれていた問題を解決した。これにより、有界コホモロジー類と双曲的コホモロジー類の間には厳密な包含関係が成り立つことが示された。

ABSTRACT

We study hyperbolic cohomology classes in the general context of simplicial complexes and prove homological invariance statements for them. We relate the existence of hyperbolic cohomology classes to the non-amenability of the fundamental group. In degree two we clarify the relation between hyperbolic and atoroidal classes, leading to an application to symplectically atoroidal manifolds.

研究の動機と目的

• 単体的複体の一般設定において、双曲的コホモロジー類のホモロジー的不変性を確立すること。
• 双曲的コホモロジー類と基本群の非アメーヌブル性との関係を明確にすること。
• Kȩdra (2007) が提起した、2次元において非トロイダル類が双曲的クラスに含まれるかどうかという未解決問題を解決すること。
• シンプレクティック形式が非トロイダルだが双曲的でない、明示的なシンプレクティック4次元多様体の構成により、有界コホモロジー部分空間と双曲的コホモロジー部分空間の間の包含関係が厳密であることを示すこと。

提案手法

• 単体的複体上のde Rhamコホモロジーを用いて、普遍被覆空間における有界な原始を備えることによって、双曲的コホモロジー類を定義する。
• de Rham定理を用いて、実単体的コホモロジーを微分形式のde Rhamコホモロジーと同一視する。
• Brooksのラプラシアンのスペクトルギャップに関する結果を応用し、基本群の非アメーヌブル性と双曲的クラスの不在を関連付ける。
• 低 genus の曲面では表現できない非 torsion 要素をもつ Barge-Ghys 群を用いて、非トロイダルだが双曲的でないクラスを構成する。
• Lefschetz フibration のファイバー和と Thurston 型のシンプレクティック接合を用いて、これらのコホモロジー類をシンプレクティック4次元多様体上に実現する。
• アメーヌブル群（例：可解群）では有界コホモロジーが消えることを利用し、そのような場合に双曲的クラスが存在できないことを示す一方で、非トロイダルクラスがまだ非自明である可能性があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromov が予想したように、2次元の非トロイダルコホモロジー類は常に双曲的であるのだろうか？（Kȩdra が疑問を呈した。）
• RQ2 2次元において、双曲的コホモロジー部分空間は有界コホモロジー部分空間と一致するのか、それとも包含関係が厳密なのか？
• RQ3 基本群の非アメーヌブル性は、双曲的コホモロジー類の存在または非存在とどのように関係するのか？
• RQ4 閉じたシンプレクティック4次元多様体で、シンプレクティック形式が非トロイダルだが双曲的でないものを作成できるか？
• RQ5 高次元およびアメーヌブルな基本群を有する場合に、双曲的、有界、非トロイダルコホモロジー部分空間の関係は何か？

主な発見

• 双曲的部分空間 V²_hyp(BΓ) が自明であるが、非トロイダル部分空間 V²_ator(BΓ) が非自明であるような、有限生成な群 Γ が存在する。これは、非トロイダルクラスが常に双曲的であるとは限らないことを示している。
• シンプレクティック形式 ω が非トロイダルだが双曲的でない、明示的な閉じたシンプレクティック4次元多様体が存在する。これは、すべての非トロイダルクラスが双曲的であるという予想に対する反例を提供する。
• 一般に、包含関係 V²_b(X) ⊂ V²_hyp(X) は厳密である。これは、アメーヌブル性により有界クラスが消える例において、双曲的クラスがまだ存在しうることによって示された。
• 最高次元において、有界コホモロジー部分空間が消えても、双曲的部分空間が非自明であることがある。非アメーヌブルな基本群と単体的体積が消える多様体において、その例が観察された。
• すべての双曲的部分空間の和は、実コホモロジー環においてイデアルをなすが、有界コホモロジー部分空間に対しては同様の性質は成り立たない。
• Lefschetz フibration のファイバー和を用いて構成されたシンプレクティック4次元多様体において、シンプレクティック類 ω = ω_F + kπ*ω_B は、k が十分に大きいとき非トロイダルだが双曲的でない。これは、ω_F が非双曲的であるためである。