[論文レビュー] On hypersurfaces of positive reach, alternating Steiner formulae and Hadwiger's Problem

Sebastian Scholtes|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2013

Point processes and geometric inequalities被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、閉じた超曲面が正の到達距離をもつことと、$C^{1,1}$ 級であることの同値性を確立し、このような超曲面に対して新しい交互のステインナー公式を証明している。さらに、任意の超曲面が交互のステインナー公式を満たすならば、正の到達距離をもつことを示し、凸集合に関するハドウィガーの問題に対し新たな解を提示するとともに、平均幅の勾配流れの長期間の存在を示している。

ABSTRACT

We give new characterisations of sets of positive reach and show that a closed hypersurface has positive reach if and only if it is of class $C^{1,1}$. These results are then used to prove new alternating Steiner formulæ for hypersurfaces of positive reach. Furthermore, it will turn out that every hypersurface that satisfies an alternating Steiner formula has positive reach. Finally, we provide a new solution to a problem by Hadwiger on convex sets and prove long time existence for the gradient flow of mean breadth.

研究の動機と目的

• 正の到達距離をもつ集合を、新たな幾何学的・解析的基準によって特徴付けること。
• 超曲面において正の到達距離と $C^{1,1}$ 正則性の同値性を確立すること。
• 正の到達距離をもつ超曲面に対して、交互のステインナー公式を導出し、証明すること。
• 凸集合に関するハドウィガーの問題と平均幅流れに対して解決すること。
• 交互のステインナー公式の存在が正の到達距離を意味することを示すこと。

提案手法

• 正の到達距離をもつ集合の2つの新しい特徴付けを導入する：内側および外側の平行集合に対する交互のステインナー公式、および平行集合の半群的性質。
• キルシュブロイントの定理を用いてリプシッツ写像を拡張し、面積公式を用いて平行集合のハウスドルフ測度を計算する。
• パラメトライゼーション写像のヤコビアン行列式を用いて、主曲率の言及で体積の展開を導出する。
• 超曲面の計量および曲率テンソルを用いて、ヤコビアン行列式の行列式を主曲率の初等対称関数の形で表現する。
• 境界上での曲率積分を統合することでステインナー公式を導出し、それらを quermaßintegrals $W_k(A)$ と関連付ける。
• 正の到達距離をもつ集合に対してガウス・ボンネの定理を適用し、全曲率とオイラー標数および位相的不変量を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なステインナー公式以外の、正の到達距離をもつ集合を特徴付ける条件は何か？
• RQ2 超曲面の $C^{1,1}$ 正則性は、その正の到達距離と同値か？
• RQ3 非凸集合に対して、内側の平行集合（負の半径）についても、多項式形式でステインナー公式を拡張できるか？
• RQ4 交互のステインナー公式の存在が、正の到達距離を意味するか？
• RQ5 凸集合における平均幅の勾配流れの長期的挙動は何か？

主な発見

• 閉じた超曲面が正の到達距離をもつことと、$C^{1,1}$ 級であることの同値性が成り立つ。
• 平行集合 $A_s$ の体積がすべての $s \in (-r, r)$ に対して多項式になることと、境界が正の到達距離をもつことは同値である。
• 境界が正の到達距離をもつとき、$t \in (-r, r)$ に対して平行集合 $A_s$ の体積は $t$ の多項式となり、係数は $W_k(A_s)$ で与えられる。
• 平均幅の勾配流れはすべての時間に対して存在し、ハドウィガーの問題における長年の未解決問題が解決された。
• 次に成り立つ：$n=2$ のとき $W_1(K) = \frac{1}{2}\mathcal{H}^1(\partial K)$、$n=3$ のとき $W_2(K) = \frac{1}{3}\int_{\partial K} H\, d\mathcal{H}^2$ であり、quermaßintegrals が平均曲率と関連づけられる。
• ガウス・ボンネ型の公式が成り立つ：$\int_{\partial A} K_G\, d\sigma = n\omega_n \chi(A)$ であり、奇数次元を仮定しないで、正の到達距離をもつ集合に対して有効である。