[論文レビュー] On images of Mori dream spaces

Shinnosuke Okawa|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、全射的準同型の下でのモーリー・ドリーム空間の像が再びモーリー・ドリーム空間であることを確立し、元の空間の構造を用いて像のコックス環の有限生成性を示している。有効コーン上にザリスキ分解とGIT同値性を符号化するファン構造を導入し、像空間のファンが元の空間のファンを像の有効コーンに制限したものであることを示している。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the geometry of images of morphisms from Mori dream spaces. First we prove that a variety which admits a surjective morphism from a Mori dream space is again a Mori dream space. Secondly we introduce a natural fan structure on the effective cone of Mori dream spaces. We show that it encodes the information of Zariski decompositions, which in turn is equivalent to the information of the variation of GIT quotients of their Cox rings. Finally we show that under a surjective morphism between Mori dream spaces, the fan of the target space coincides with the restriction of the fan of the source.

研究の動機と目的

• 全射的準同型の下でのモーリー・ドリーム空間の像が再びモーリー・ドリーム空間であることを確立すること。
• モーリー・ドリーム空間の有効コーン上に自然なファン構造を定義し、その性質を調べること。
• このファン構造が、ザリスキ分解とコックス環のGIT商の変動に関連することを明らかにすること。
• モーリー・ドリーム空間間の全射的準同型 f: X → Y に対して、Y のファンが X のファンを Y の有効コーンに制限したものに一致することを示すこと。
• 理論をモーリー・ドリーム領域へと拡張し、このような場合におけるファンの整合性の限界を検討すること。

提案手法

• 元の空間のコックス環の有限生成性と準同型のシュタイン分解を用いて、像多様体のコックス環の有限生成性を示すこと。
• 有限準同型を分離的および純粋非分離的部に分解し、それぞれのケースを多項式の断面環の性質を用いて別個に取り扱うこと。
• 有効コーン上にファンを定義する。ここで、2つの線分束が強モーリー同値であるとは、そのザリスキ分解における負の部分の台が一致し、正の部分が同じイタカ写像を定義するときを指す。
• コックス環上の双対トーラス作用を用いて、モーリー・ドリーム空間上の線分束について、強モーリー同値とGIT同値が等価であることを確立すること。
• 有理ピカール群上の引き戻し写像を用いて、元の空間のファンを像の有効コーンに制限し、これが像空間のファンに一致することを示すこと。
• 小変形によるQ-因子的状況への還元を用いて、モーリー・ドリーム領域に結果を拡張し、ファン構造と有限生成性の性質が保存されることを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全射的準同型の下でのモーリー・ドリーム空間の像は、必然的にモーリー・ドリーム空間であるか？
• RQ2 モーリー・ドリーム空間の有効コーン上に、ザリスキ分解の情報を符号化する自然なファン構造を定義できるか？
• RQ3 モーリー・ドリーム空間の有効コーン上のファン構造は、そのコックス環のGIT商の変動と等価か？
• RQ4 モーリー・ドリーム空間間の全射的準同型 f: X → Y に対して、Y のファンは X のファンを Y の有効コーンに制限したものと一致するか？
• RQ5 これらのファン理論的およびGIT理論的構造は、モーリー・ドリーム領域へどの程度まで拡張可能か。また、その限界は何か？

主な発見

• 正規のQ-因子的射影的多様体間の全射的準同型の下でのモーリー・ドリーム空間の像は、再びモーリー・ドリーム空間である。
• モーリー・ドリーム空間の有効コーン上に自然なファン構造が存在し、各コーンは強モーリー同値な線分束の類に対応する。
• ザリスキ分解における負の部分の台が一致し、正の部分が同じイタカ写像を定義するという強モーリー同値—これは、コックス環の対応する特徴のGIT同値と等価である。
• モーリー・ドリーム空間間の全射的準同型 f: X → Y に対して、Y のファンは X のファンを Y の有効コーンに制限したものに等しい。
• 結果はモーリー・ドリーム領域へと拡張可能であり、元の空間のモーリー・ドリーム領域を像の有効コーンに制限すると、像空間においてもモーリー・ドリーム領域が得られる。
• ファン構造は一般に、豊富な除集合を持たない状況では、不安定な部分集合の問題やGIT同値性と強モーリー同値性の不一致のため、任意のモーリー・ドリーム領域へは一般には拡張されない。