[論文レビュー] On incidence algebras description of cobweb posets

Ewa Krot-Sieniawska|ArXiv.org|Feb 26, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、F₀ = 1 を満たす自然数列に基づく Kwaśniewski の構成を用いて、任意のコブウェブposetのインシデント代数のモビウス関数およびその他の主要な要素について明示的な公式を提供する。また、コブウェブposetが、順序付け可能なDAG（KoDAG）として表現可能であり、完全な一方通行二部有向グラフ（di-bicliques）の鎖として構成されることを示し、インシデント代数関数の普遍的な組み合わせ的解釈および行列表現を可能にする。

ABSTRACT

The explicite formulas for Mobius function and some other important elements of the incidence algebra of an arbitrary cobweb poset are delivered. For that to do one uses Kwasniewski's construction of his cobweb posets . The digraph representation of these cobweb posets constitutes a newly discovered class of orderable DAG's named here down KoDAGs with a kind of universality now being investigated. Namely cobweb posets' and thus KoDAGs's defining di-bicliques are links of any complete relations' chains.

研究の動機と目的

• 任意のコブウェブposetのインシデント代数のモビウス関数およびその他の基本的要素について、明示的な公式を導出すること。
• Kwaśniewski の数列に基づく構成を用いて、コブウェブposetのインシデント代数構造を形式化すること。
• コブウェブposetが、完全な一方通行二部有向グラフ（di-bicliques）の鎖として構成され、順序付け可能なDAG（KoDAG）の普遍的クラスを形成することを示すこと。
• Fibonacci コブウェブposetに関する先行研究を、F₀ = 1 を満たす任意の自然数列で定義されるコブウェブposetの全族に拡張すること。
• 有限部分poset Pₙ におけるインシデント代数関数（例：ζ, μ, χ）の行列表現を提供し、計算的および代数的解析を可能にすること。

提案手法

• コブウェブposet Π のインシデント代数 I(Π) は、局所有限なposet上で定義され、f: Π×Π → R となる関数で、x ≤ y でない限り0となる。
• モビウス関数 μ(x,y) は、インシデント代数における ζ⁻¹ としての関係 μ = ζ⁻¹ を用いた再帰的逆数計算により導出される。
• 被覆関係 χ(x,y) は、y が x を被覆する（つまり、x ≺ y かつそれらの間に厳密に中間の要素がない）場合に1、それ以外は0と定義され、χᵏ を用いて高次元の鎖の数を計算する。
• インシデント代数の要素は数列 {Fₙ} を用いて明示的に表現され、μ(x,y) = 0 となるのは r(y) = r(x) + k（k ≥ 0）の場合に限る。r(x)=t, r(y)=v=t+k のとき、μ(x,y) = (-1)ᵏF_{t+1}F_{t+2}…F_{v-1} となる。
• 有限コブウェブposet Pₙ の関数 f ∈ I(Pₙ) の行列表現 M(f) は、Pₙ の要素に線形順序 X を導入することで、R 上の上三角行列として構成される。
• 本稿では、Pₙ におけるゼータ関数 ζ(x,y) が δ(s,u)δ(t,v) + ∑ₖ₌₁ⁿ δ(t+k,v) で与えられ、モビウス関数 μ(x,y) が x=⟨s,t⟩, y=⟨u,v⟩ のとき δ(t,v)δ(s,u) - δ(t+1,v) であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F₀ = 1 を満たす自然数列で定義される任意のコブウェブposetに対して、モビウス関数を明示的に計算する方法は何か？
• RQ2 コブウェブposetのインシデント代数の代数的構造は何か？ これは、Fibonacci コブウェブposetに関する既知の結果をどのように一般化するか？
• RQ3 インシデント代数の要素（ζ, μ, χ）は、コブウェブposetが di-bicliques の鎖として構成されることと、どのように関係しているか？
• RQ4 有限コブウェブposet Pₙ のインシデント代数は上三角行列として表現可能か？ 任意の数列 {Fₙ} に対して、その行列の形はどのようなものか？
• RQ5 KoDAG（順序付け可能なDAG）は、コブウェブposetおよびそのインシデント代数の表現を統合するために果たす役割は何か？

主な発見

• コブウェブposetにおけるモビウス関数は、μ(⟨s,t⟩,⟨u,v⟩) = δ(t,v)δ(s,u) - δ(t+1,v) で与えられ、v = t または v = t+1 のときのみ非ゼロとなる。
• r(x)=t かつ r(y)=v=t+k である長さ k の鎖に対して、最大鎖の数は χᵏ(x,y) = δ(t+k,v)F_{t+1}F_{t+2}…F_{v-1} で与えられる。
• 有限コブウェブposet Pₙ におけるゼータ関数は、ζ(x,y) = δ(s,u)δ(t,v) + ∑ₖ₌₁ⁿ δ(t+k,v) で与えられ、レベル間の到達可能性を反映している。
• Pₙ のインシデント代数は、R 上の上三角行列の部分環と同型であり、行列 M(f) はposetの順序の線形拡張に基づいて定義される。
• モビウス関数の逆元 μ⁻¹ は、すべての最大鎖の生成関数である： μ⁻¹ = δ + χ + χ² + χ³ + …
• Fibonacci 場合（P₆）におけるζの行列表現は、21×21 の上三角行列として明示的に構成され、posetの階層的構造を反映した要素を持つ。