[論文レビュー] On incomparability and related cardinal functions on ultraproducts of Boolean algebras

Saharon Shelah, Otmar Spinas|ArXiv.org|Mar 18, 1999

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ブール代数の超積における基数関数を調査し、特定の集合論的仮定の下で、さまざまな基数的特徴量——例えば非比較性、スプレッド、および素性密度——が超積上でとる値が、個々の代数上でこれらの特徴量の値の超積よりも厳密に小さいことが一貫していることを示している。この結果は、モンクが提起した複数の未解決問題を解決し、これらの関数が単調に超積を保存しないことを構成的に示している。

ABSTRACT

Let C denote any of the following cardinal characteristics of Boolean algebras: incomparability, spread, character, pi-character, hereditary Lindelof number, hereditary density. It is shown to be consistent that there exists a sequence <i> of Boolean algebras and an ultrafilter D on kappa such that C(prod_{i</i>

研究の動機と目的

• ブール代数の超積における非比較性、スプレッド、性質、および素性密度などの基数関数の振る舞いを調査すること。
• これらの関数が超積構成と可換であるかどうかを、特に集合論的独立性結果の文脈で特定すること。
• 超積上の基数関数の値と、個々の代数上でその関数の値の超積との関係に関してモンクが提起した未解決問題を解消すること。
• C(∏B_i/D) < |∏C(B_i)/D| が、さまざまな基数的特徴量Cについて一貫していることを確立すること。
• モデル理論的超積と、ブール代数における位相的または組合せ的基数不変量との相互作用を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、ZFCのモデルにおいて所望の不等式が成り立つようにするため、集合論における強制法と独立性技法を用いて構成を行う。
• 彼らは、基数κ上の非主超フィルターDを用いて、ブール代数の超積を分析する。
• 各基数的特徴量C ∈ {非比較性, スプレッド, 性質, π-性質, 素性Lindelöf数, 素性密度} について、C(∏B_i/D) と |∏C(B_i)/D| を比較する。
• 証明は、個々の代数のC値の超積が、超積のC値よりも厳密に大きいようにする、⟨B_i : i < κ⟩ のブール代数の列を構成することに依存する。
• 彼らは、特にブール代数および一般位相の基数不変量とその超積に関連する技術を用いる。
• 議論は、一般化された連続体仮説が制御された方法で失敗するモデルにおいて展開されており、これにより必要な不等式を強制できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブール代数の超積の非比較性が、個々の代数の非比較性の超積よりも厳密に小さいことは、一貫していると言えるか？
• RQ2 ブール代数の超積のスプレッドが、成分のスプレッドの超積よりも厳密に小さいことは可能か？
• RQ3 ZFCのいくつかのモデルにおいて、ブール代数の超積の素性密度が、個々の代数の素性密度の超積と一致しないことはあり得るか？
• RQ4 ブール代数上の基数関数が、超積構成とどの程度可換であるか？
• RQ5 複数の基数的特徴量Cについて、C(∏B_i/D) < |∏C(B_i)/D| が成り立つZFCのモデルが存在するか？

主な発見

• ブール代数の超積の非比較性が、個々の代数の非比較性の超積よりも厳密に小さいことは、一貫している。
• スプレッド、性質、π-性質、素性Lindelöf数、および素性密度について、C(∏B_i/D) < |∏C(B_i)/D| の一貫性が確立された。
• この結果は、これらの基数関数が単調に超積を保存しないことを示しており、自然な期待とは反する。
• 一般化された連続体仮説が特定の基数で失敗する強制拡大に依存した構成である。
• この論文は、モンクが超積の下での基数関数の振る舞いに関して提起した複数の未解決問題を解決した。
• 結果は、超積が、成分代数が大きな値を持つ場合でも、特定の基数不変量の値を顕著に小さくすることがあることを示している。