[論文レビュー] On Incompressible Averaged Lagrangian Hydrodynamics

Steve Shkoller|ArXiv.org|Aug 19, 1999

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、体積保存微分同相群の部分群における新しい弱い右不変計量を用いてラグランジュ流の写像を分析することにより、境界を有するコンpactリーマン多様体上での非圧縮性平均化オイラー方程式に対して、滑らかな解の存在と一意性を確立する。主な貢献は、$H^s$ 初期データ $s > n/2 + 1$ に対して滑らかな測地線が存在することの証明であり、断面曲率の符号を変えることで元のオイラー流を安定化する計量の性質を示し、境界上でも零粘性極限が確立されている。

ABSTRACT

This paper is devoted to the geometric analysis of the incompressible averaged Euler equations on compact Riemannian manifolds with boundary. The equation also coincides with the model for a second-grade non-Newtonian fluid. We study the analytical and geometrical properties of the Lagrangian flow map. We prove existence and uniqueness of smooth-in-time solutions for initial data in $H^s$, $s > n/2 +1$ by establishing the existence of smooth geodesics of a new weak right invariant metric on new subgroups of the volume-preserving diffeomorphism group. We establish smooth limits of zero viscosity for the second-grade fluids equations even on manifolds with boundary. We prove that the weak curvature operator of the weak invariant metric is continuous in the $H^s$ topology for $s> n/2+2$, thus proving existence and uniqueness for the Jacobi equation. We show that this new metric stabilizes the Lagrangian flow of the original Euler equations by changing the sign of the sectional curvature.

研究の動機と目的

• 境界を有するコンパクトリーマン多様体上での非圧縮性平均化オイラー方程式の幾何学的・解析的構造を分析すること。
• $H^s$ 初期データ $s > n/2 + 1$ に対して、滑らかで時間に依存する解の存在と一意性を、新規の弱い右不変計量を用いて確立すること。
• 体積保存微分同相群の部分群上で、この新しい計量に対する滑らかな測地線の存在を証明すること。
• 境界を有する多様体上での第二級流体方程式の零粘性極限を厳密に確立すること。
• 新しい計量が断面曲率の符号を変えることで、元のオイラー方程式のラグランジュ流を安定化することを示すこと。

提案手法

• 体積保存微分同相群の部分群に新しい弱い右不変リーマン計量を導入すること。
• この計量に関連する測地線方程式を分析し、平均化オイラー方程式をモデル化すること。
• 無限次元リーマン幾何学および偏微分方程式解析の技術を適用して、滑らかな解の存在と一意性を証明すること。
• $s > n/2 + 2$ に対して、弱い曲率作用素が $H^s$ 位相で連続であることを確立し、ヤコビ方程式の解析を可能にすること。
• 幾何的構造を用いて、新しい計量が断面曲率の符号を変えることにより、元のオイラー流を安定化することを証明すること。
• 第二級非ニュートン流体の理論を、平均化モデルの物理的実現として適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を有するコンパクトリーマン多様体上での非圧縮性平均化オイラー方程式に対して、滑らかな解が存在することを証明できるか？
• RQ2 体積保存微分同相群に導入された新しい弱い右不変計量が、ラグランジュ流の安定性にどのように影響するか？
• RQ3 この新しい計量の弱い曲率作用素は、ソボレフ空間 $H^s$ においてどの程度の正則性を示すか？
• RQ4 境界を有する多様体上での第二級流体方程式に対して、零粘性極限を厳密に確立できるか？
• RQ5 新しい計量が断面曲率の符号を変えることで、元のオイラー力学を安定化させるか？

主な発見

• $H^s$ 初期データ $s > n/2 + 1$ に対して、滑らかな解が存在し、かつ一意である。
• 体積保存微分同相群の部分群上で、新しい弱い右不変計量に対する滑らかな測地線の存在が確立された。
• この計量の弱い曲率作用素は、$s > n/2 + 2$ に対して $H^s$ 位相で連続であり、ヤコビ方程式の適切な定式化を保証する。
• 境界を有する多様体上でも、第二級流体方程式に対して零粘性極限が存在することが証明された。
• 新しい計量が断面曲率の符号を変えることで、元のオイラー方程式のラグランジュ流が安定化された。
• 平均化オイラー方程式は、第二級非ニュートン流体のモデルと一致し、この流体モデルに幾何的解釈を与える。