[論文レビュー] On independent set on B1-EPG graphs

Marin Bougeret, Stéphane Bessy+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グリッド上の折り目が1つまでのパスで表現されるB₁-EPGグラフにおける最大独立集合（MIS）問題を調査する。MISはNP完全であり、1つのパス形状や水平・垂直方向のセグメント長が有界であるなどの強い制約下でもPTASを有しないが、水平方向の長さが有界である場合にはPTASが存在する。また、3つのパス形状に対してMISはFPTであり、B₂-EPGではW₁-hardであることが示され、一般のB₁-EPGにおける場合の複雑さは未解決のまま残っている。

ABSTRACT

In this paper we consider the Maximum Independent Set problem (MIS) on $B_1$-EPG graphs. EPG (for Edge intersection graphs of Paths on a Grid) was introduced in ~\cite{edgeintersinglebend} as the class of graphs whose vertices can be represented as simple paths on a rectangular grid so that two vertices are adjacent if and only if the corresponding paths share at least one edge of the underlying grid. The restricted class $B_k$-EPG denotes EPG-graphs where every path has at most $k$ bends. The study of MIS on $B_1$-EPG graphs has been initiated in~\cite{wadsMIS} where authors prove that MIS is NP-complete on $B_1$-EPG graphs, and provide a polynomial $4$-approximation. In this article we study the approximability and the fixed parameter tractability of MIS on $B_1$-EPG. We show that there is no PTAS for MIS on $B_1$-EPG unless P$=$NP, even if there is only one shape of path, and even if each path has its vertical part or its horizontal part of length at most $3$. This is optimal, as we show that if all paths have their horizontal part bounded by a constant, then MIS admits a PTAS. Finally, we show that MIS is FPT in the standard parameterization on $B_1$-EPG restricted to only three shapes of path, and $W_1$-hard on $B_2$-EPG. The status for general $B_1$-EPG (with the four shapes) is left open.

研究の動機と目的

• B₁-EPGグラフにおける最大独立集合（MIS）問題の近似可能性と固定パラメータ可 tractability を特定すること。
• 単一のパス形状やセグメント長が有界であるなどの構造的制約下で、B₁-EPGグラフにおけるMISにPTASが存在するかを調査すること。
• 特に制限されたパス形状に対する、B₁-EPGにおけるMISのパラメータ化された複雑さを探索すること。
• B₂-EPGにおけるMISの難易度結果を確立し、B₁-EPGと比較すること。

提案手法

• k-クリーク問題からの還元を用いて、B₂-EPGグラフにおけるMISがNP完全かつW₁-hardであることを証明する。
• 円形トラックとパスの交差を用いたエッジおよび頂点ガジェットの構築により、独立集合におけるクリーク選択をシミュレートする。
• エッジおよび頂点ガジェットごとに6パスおよび3パスのクリークを用い、独立集合のサイズを制限し、選択の一貫性を強制する。
• 水平方向のパス長が定数に有界である場合に、構造的制約を活用してB₁-EPGグラフに対するPTASを設計する。
• 水平方向・垂直方向のセグメント長が3に有界であっても、1つのパス形状しか使わない場合ですら、MISに対してPTASが存在しないことを証明する。
• コーナー座標、水平・垂直方向の射影、グリッドエッジの共有を用いたパス表現の分析により、隣接関係をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのパスの水平方向長さが有界である場合に、B₁-EPGグラフにおけるMISにPTASが存在するか？
• RQ2 単一のパス形状である場合に、B₁-EPGグラフにおけるMISにPTASが存在するか？
• RQ3 3つのパス形状に制限されたB₁-EPGグラフにおいて、MISはFPT時間で解けるか？
• RQ4 B₂-EPGグラフにおけるMISはW₁-hardか？
• RQ5 4種類のすべてのパス形状を持つ一般のB₁-EPGグラフにおけるMISの近似可能性の状態は？

主な発見

• P = NPでない限り、MISはB₁-EPGグラフにおいてPTASを有さない。これは、1つのパス形状しか使わない場合や、水平・垂直方向のセグメント長が3に有界であっても同様に成り立つ。
• すべての水平方向パスセグメントが定数に有界である場合に、B₁-EPGグラフにおけるMISに対してPTASが存在する。
• 3つのパス形状に制限されたB₁-EPGグラフにおいて、MISは標準パラメータ化においてFPTである。
• B₂-EPGグラフにおけるMISはW₁-hardである。これは、パラメータ化された意味での強い非可 tractability を示している。
• k-クリーク問題からB₁-EPGグラフにおけるMISへの還元では、6パスおよび3パスのクリークを用いたエッジおよび頂点ガジェットが用いられ、独立集合のサイズを通じてクリーク選択をシミュレートする。
• 本稿では、4種類のすべてのパス形状を持つ一般のB₁-EPGグラフにおけるMISのパラメータ化された複雑さは未解決のまま残っている。