[論文レビュー] On inequalities for A-numerical radius of operators

Pintu Bhunia, Kallol Paul+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2019

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 25被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ヒルバート空間上の作用素のA-数値半径に関する、新たな上界および下界を確立し、既存の不等式を一般化・改善する。A随伴作用素、A自己随伴性、作用素行列技術を活用することで、$ w_A(T) $ のより鋭い推定値が得られ、A最小モジュラスおよびA＝クラフトウッド数を含む新しい下界が導出され、$ 2\times2 $ 作用素行列およびA-ノルム下での作用素積の数値半径に関する改善された境界が提示される。

ABSTRACT

Let $A$ be a positive operator on a complex Hilbert space $\mathcal{H}.$ We present inequalities concerning upper and lower bounds for $A$-numerical radius of operators, which improve on and generalize the existing ones, studied recently in [A. Zamani, A-Numerical radius inequalities for semi-Hilbertian space operators, Linear Algebra Appl. 578 (2019) 159-183]. We also obtain some inequalities for $B$-numerical radius of $2 imes 2$ operator matrices where $B$ is the $2 imes 2$ diagonal operator matrix whose diagonal entries are $A$. Further we obtain upper bounds for $A$-numerical radius for product of operators which improve on the existing bounds.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間上での有界線形作用素のA-数値半径に関する、既存の上界および下界の改良と一般化を図ること。
• ザマニ（2019）の結果を拡張し、A最小モジュラスおよびA＝クラフトウッド数をより緊密な推定に組み込むこと。
• B = \text{diag}(A,A) のときの $ 2\times2 $ 作用素行列のB-数値半径に関する新たな不等式を導出すること。
• 作用素積 $ XY $ のA-数値半径 $ w_A(XY) $ の既知の上界を改善すること。
• 複数のA-ノルムに基づく不変量を用いて、$ w_A(T) $ の相互に比較不能だが総合的に強い下界を提供すること。

提案手法

• ムーア＝ペンローズ逆行列を用いて定義されるA随伴作用素 $ T^{\sharp_A} = A^\dagger T^* A $ を用い、A-ノルムおよびA-数値半径を定義する。
• A作用素半ノルム $ \|T\|_A = \sup_{\|x\|_A=1, x\in\overline{\mathcal{R}(A)}} \|Tx\|_A $ およびA最小モジュラス $ m_A(T) = \inf_{\|x\|_A=1} \|Tx\|_A $ を適用する。
• 下界を導出するための主要な要素として、A＝クラフトウッド数 $ c_A(T) = \inf_{\|x\|_A=1} |\langle Tx,x\rangle_A| $ を用いる。
• 作用素行列 $ T = \begin{pmatrix} 0 & X \\ Y & 0 \end{pmatrix} $ を $ \mathcal{H} \oplus \mathcal{H} $ 上で定義し、$ B = \text{diag}(A,A) $ を用いて $ w_B(T) $ を $ w_A(X), w_A(Y) $ に関連付ける。
• 補題3.4を適用し、$ \|Tx\|_A^2 + |\langle T^2x,x\rangle_A| \leq 2w_A(T)\|Tx\|_A\|x\|_A $ の形の不等式を導出し、これを行列形式に拡張する。
• これらの不等式を、$ \overline{\mathcal{R}(A)} $ 内の正規化されたベクトルに関する上界推定と組み合わせることで、$ w_A(T) $ の新たな境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A最小モジュラスおよびA＝クラフトウッド数を用いて、A-数値半径 $ w_A(T) $ のより鋭い上界および下界を導出可能か？
• RQ2 非対角ブロックを有する $ 2\times2 $ 作用素行列の数値半径は、$ w_A(X), w_A(Y) $ および $ \|X\|_A, \|Y\|_A $ の観点からどのように評価できるか？
• RQ3 作用素 $ Y^{\sharp_A}X $ や $ YX^{\sharp_A} $ のA＝クラフトウッド数を組み込むことで、$ w_A(XY) $ の既存の上界を改善可能か？
• RQ4 作用素積 $ XY $ のA-数値半径と、$ X $ および $ Y $ の個々のノルムおよび数値半径との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 複数の相互に比較不能な $ w_A(T) $ の下界を組み合わせることで、より厳密な推定値が得られるか？

主な発見

• 既知の境界 $ w_A(XY) \leq 2w_A(X)\|Y\|_A $ よりも改善された不等式 $ w_A(XY) \leq 2w_A(X)\|Y\|_A - c_A(Y^{\sharp_A}X) $ が確立された。
• 作用素積のA-数値半径に関する双対的な改善を示す、$ w_A(XY) \leq 2w_A(Y)\|X\|_A - c_A(YX^{\sharp_A}) $ の証明がなされた。
• $ 2\times2 $ 作用素行列 $ \begin{pmatrix} 0 & X \\ Y & 0 \end{pmatrix} $ に対して、不等式 $ \|X\|_A^2 + c_A(YX) \leq 2w_B(T)\|X\|_A $ が成り立ち、$ w_B(T) $ に関する新たな下界が得られた。
• A最小モジュラスおよびA-数値半径を行列のB-数値半径に関連付ける不等式 $ m_A^2(X) + w_A(YX) \leq 2w_B(T)\|X\|_A $ が導出された。
• 新たな下界 $ w_A(T) \geq \frac{1}{2\|T\|_A} \max\left\{ \|T\|_A^2 + c_A(T^2), m_A^2(T) + w_A(T^2) \right\} $ が得られ、[25, Cor. 2.8] よりも改善された。
• 導出された境界は互いに比較不能であり、それらの最大値は個々の境界よりも厳密にタイトな推定値を提供することが示された。