[論文レビュー] On infinite-dimensional hierarchical probability models in statistical inverse problems

Tapio Helin|ArXiv.org|Jul 30, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、周期的信号を含む統計的逆問題に対する、非ガウス型事前分布を用いてエッジを保持する無限次元階層ベイズモデルを提案する。条件付き平均再構成におけるエッジ保持を実現する。微分化が細かくなるにつれて、事後分布およびCM推定値の弱収束を証明し、数値結果により次元が増加する中で安定的かつエッジ保持的な再構成が得られることを確認した。

ABSTRACT

In this article, the solution of a statistical inverse problem $M = AU+\mathcal{E}$ by the Bayesian approach is studied where $U$ is a function on the unit circle $\mathbb{T}$, i.e., a periodic signal. The mapping $A$ is a smoothing linear operator and $\mathcal{E}$ a Gaussian noise. The connection to the solution of a finite-dimensional computational model $M_{kn} = A_k U_n + \mathcal{E}_k$ is discussed. Furthermore, a novel hierarchical prior model for obtaining edge-preserving conditional mean estimates is introduced. The convergence of the method with respect to finer discretization is studied and the posterior distribution is shown to converge weakly. Finally, theoretical findings are illustrated by a numerical example with simulated data.

研究の動機と目的

• 無限次元関数空間におけるエッジ保持型ベイズ逆問題のための非ガウス型階層的事前分布モデルの開発。
• 離散化が細かくなるにつれて、事後分布および条件付き平均推定値の理論的収束の確立。
• 全変動事前分布の高次元有限差分近似におけるエッジ保持性の不安定化の解決。
• 提案手法が、調整なしに解像度の向上とともにエッジ保持性と安定性を維持することの実証。

提案手法

• 信号 $ U $ と潜在的精度場 $ V $ を同時にモデル化する階層的事前分布構造を提案。$ V $ は局所的滑らかさとエッジ検出を制御する。
• 非ガウス型事前分布として、対数正規分布または類似の厚尾分布を $ V $ に用い、事後分布におけるスパarsityとエッジ保持性を誘導。
• 有限次元離散化モデル $ M_{kn} = A_k U_n + \tilde{\nu}_k $ においてベイズの定理を用いて事後分布を導出。ここで $ A $ は平滑化作用素、$ \tilde{\nu}_k $ はガウスノイズ。
• メトロポリス・ハスティングスを用いた適応提案確率を用いたマルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）サンプリングにより、条件付き平均推定値 $ u^{CM}_{kn} = \text{E}[U_n | M_{kn} = m] $ を計算。
• 適切な事前分布パラメータ $ \epsilon $ のスケーリングの下で、$ n, k \to \infty $ のとき、事後測度 $ \tilde{\nu}_{kn} $ の弱収束を分析。
• 信号 $ U_n $ に対して $ n $、データ $ M_k $ に対して $ k $ の二段階離散化を採用。$ A_k $ は作用素 $ A $ の射影。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ガウス型事前分布を有する階層ベイズモデルは、無限次元逆問題においてエッジ保持再構成を保証できるか？
• RQ2 信号およびデータの離散化が細かくなるにつれて、事後分布は弱収束するか？
• RQ3 解像度が向上する中で、条件付き平均推定値は真の信号と安定的かつ一貫して一致するか？
• RQ4 事前分布パラメータ $ \epsilon $ はエッジの鋭さと収束行動を制御する役割を果たすか？
• RQ5 次元が増加する中で、有限次元TVベース再構成で生じるエッジ保持性の喪失を回避できるか？

主な発見

• 適切な事前分布パラメータ $ \epsilon $ のスケーリングの下で、無限次元設定において事後分布は弱収束して極限測度に収束する。
• 非ガウス型事前分布が存在する中でも、条件付き平均推定値 $ u^{CM}_{kn} $ は $ n \to \infty $ のとき安定的かつ明確な再構成子に収束する。
• 数値結果により、$ u^{CM}_{kn} $ のエッジ鋭さは $ \epsilon $ で制御され、$ \epsilon $ が小さいほどエッジが鋭くなり、$ v^{CM}_{kn} $ が滑らかになる。
• N = 256 の場合、$ \epsilon = 3 \times 10^{-4} $ のときMCMC計算に約53.7時間かかった。これは中程度の次元で計算の実行可能性を示している。
• 条件付き平均推定値 $ u^{CM}_{kn} $ は、大きなノイズ下でも真の信号 $ u $ をよく近似し、最小限のバイアスと不連続性の保持を示す。
• 潜在場 $ v^{CM}_{kn} $ は $ N $ の増加とともに滑らかになるが、これは $ v $ が点ごとの収束はしないものの、$ U $ の正則性を制御する役割は保持されていることを示唆する。