[論文レビュー] On infinitesimal generators of sublinear Markov semigroups

Franziska Kühn|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非線形期待における非線形ハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式およびレヴィ過程と関連する、非線形マルコフ半群の生成作用素の表現を示す。非線形期待における非線形マルコフ半群の生成作用素が、負定値のシンボルを持つ擬微分作用素の上界として表せることを証明し、コルゲ-ヴォーンデンフェルスの定理およびディンキンの公式の非線形版を確立する。

ABSTRACT

We establish a Dynkin formula and a Courrège-von Waldenfels theorem for sublinear Markov semigroups. In particular, we show that any sublinear operator $A$ on $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ satisfying the positive maximum principle can be represented as supremum of a family of pseudo-differential operators: $$Af(x) = \sup_{α\in I} (-q_α(x,D) f)(x).$$ As an immediate consequence, we obtain a representation formula for infinitesimal generators of sublinear Markov semigroups with a sufficiently rich domain. We give applications in the theory of non-linear Hamilton--Jacobi--Bellman equations and Lévy processes for sublinear expectations.

研究の動機と目的

• 古典的なコルゲ-ヴォーンデンフェルスの定理およびディンキンの公式を非線形マルコフ半群の設定に拡張すること。
• 十分に豊かな定義域を持つ非線形マルコフ半群の無限小生成作用素を、擬微分作用素の上界として特徴付けること。
• 非線形マルコフ半群と非線形ハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン（HJB）方程式との関係を確立すること。
• 非線形レヴィ過程の生成作用素による表現を提供し、レヴィ測度のタイトネス条件下で一意性を証明すること。

提案手法

• 作用素の劣加法性および正homogeneityを用いて、非線形半群における一般化されたディンキンの公式を導出する。
• 正の最大値原理を満たす $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上の任意の非線形作用素 $A$ が、$Af(x) = \sup_{\alpha \in I} (-q_\alpha(x,D)f)(x)$ と表せることを証明する。ここで $q_\alpha$ は擬微分作用素である。
• コルゲ-ヴォーンデンフェルスの定理の非線形版を確立し、ドリフト、拡散、ジャンプ成分を含む、族のレヴィトリプレットに関する上界表現を持つことを示す。
• この表現を用いて、発展方程式 $\partial_t u - A_x u = 0$ の解 $u(t,x) = T_t f(x)$ が、線形生成作用素の族に関する上界で与えられる非線形HJB方程式の粘性解であることを示す。
• タイトネス条件の下で、$C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上の生成作用素によって、非線形レヴィ過程の半群が一意に定まることを示す。
• 粘性解理論および強連続性を用いて、$\nu_\theta$ のタイトネス条件下で半群の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なコルゲ-ヴォーンデンフェルスの定理は、非線形マルコフ半群の設定に拡張可能か？
• RQ2 非線形半群に対してディンキンの公式は成立するか？また、線形の場合とはどのように異なるか？
• RQ3 十分に豊かな定義域を持つ非線形半群の無限小生成作用素は、擬微分作用素の上界として表せるか？
• RQ4 非線形マルコフ半群は非線形ハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式とどのように関係するか？
• RQ5 非線形マルコフ畳み込み半群は、$C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ に制限された生成作用素によって、どのような条件下で一意に定まるか？

主な発見

• 非線形マルコフ半群の無限小生成作用素 $A$ は、$C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ を含む定義域を持つとき、次のように表せる：\[ Af(x) = \sup_{\alpha \in I} \left( -c_\alpha(x)f(x) + b_\alpha(x) \cdot \nabla f(x) + \frac{1}{2} \operatorname{tr}(Q_\alpha(x) \cdot \nabla^2 f(x)) + \int_{y \neq 0} (f(x+y) - f(x) - y \cdot \nabla f(x) \mathbf{1}_{(0,1)}(|y|)) \, \nu_\alpha(x,dy) \right) \]。
• 非線形半群に対して一般化されたディンキンの公式が成立する：$f \in \mathcal{D}(A)$ に対して $T_t f - f = \int_0^t T_s A f \, ds$。
• 発展方程式 $\partial_t u - A_x u = 0$ の解 $u(t,x) = T_t f(x)$ は、線形生成作用素の族に関する上界で与えられる非線形HJB方程式の粘性解である。
• タイトネス条件 $\lim_{R \to \infty} \sup_{\theta \in I} \int_{|y| > R} \nu_\theta(dy) = 0$ の下で、$C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上で同一の生成作用素を持つ2つの非線形マルコフ畳み込み半群は、すべての $t \geq 0$ および $f \in C_b^{\operatorname{uc}}(\mathbb{R}^d)$ に対して等しい。
• レヴィ測度の族 $\nu_\theta$ がタイトである限り、非線形レヴィ過程に付随する半群は、$C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上の生成作用素によって一意に定まる。
• タイトネス条件が成り立つ限り、確率測度の族 $\mathfrak{P}^x$ に関する上界によって構成された非線形レヴィ過程は、生成作用素によって定義される過程と同一の有限次元分布および半群を持つ。