[論文レビュー] On inner product in modular tensor categories. I

Alexander Kirillov|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、根の単位における量子群から生じるモジュラーテンソルカテゴリのインターティナーや空間における、モジュラー群 $SL_2(\mathbb{Z})$ のユニタリ表現を確立する。これらの空間に自然なヘルミート内積を構成し、モジュラー群作用がユニタリであることを証明するとともに、$S$-行列を型 $A_{n-1}$ のマクドナルド多項式に関連づけ、$\mathfrak{sl}_n$ の明示的公式とシェレドニクの差分フーリエ変換への接続を示す。

ABSTRACT

In this paper we study modular tensor categories (braided rigid balanced tensor categories with additional finiteness and non-degeneracy conditions), in particular, representations of quantum groups at roots of unity. We show that the action of modular group on certain spaces of morphisms in MTC is unitary with respect to the natural inner product on these spaces. In a special case of category based on representations of the quantum group U_q sl_n at roots of unity we show that in some of these spaces of morphisms (for U_q sl_2, in all of them) the action of modular group can be written in terms of values of Macdonald's polynomials of type A at roots of unity. This gives identities for these special values, both known before (symmetry identity) and new ones. The paper contains a detailed exposition of the theory of modular categories as well as construction of modular categories from representation of quantum groups at roots of unity

研究の動機と目的

• 根の単位における量子群から生じるモジュラーテンソルカテゴリのインターティナーや空間に、標準的なヘルミート内積を定義すること。
• この内積に関して、モジュラー群 $SL_2(\mathbb{Z})$ の射影的作用がユニタリであることを証明すること。
• モジュラーテンソルカテゴリの $S$-行列と型 $A_{n-1}$ のマクドナルド多項式の特別値との明確な関係を確立すること。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ の場合に、$S$-行列の成分が根の単位で評価されたマクドナルド多項式の形で表現可能であることを示すこと。
• 一般に、構築された内積が正定値であると予想し、$\mathfrak{sl}_2$ の場合でその検証を行うこと。

提案手法

• 量子ウェイル群の要素 $\Omega$ を用いて、$q = \varepsilon = e^{\pi i / (m\kappa)}$ における $U_q\mathfrak{g}$ の表現の圏にヘルミート構造を定義する。
• 量子群のすべての $x$ に対して $H(xv, v') = H(v, S\omega(x)v')$ を満たす、最高ウェイトモジュールの非退化ヘルミート形式 $H$ を構成する。
• $q=1$ の場合への連続的変形を用い、$t \in [0,1]$ 上での変形論的議論により形式 $H$ の正定値性を証明する。
• 内積を $H(v \otimes w, v' \otimes w') = H(v, v')H(w, w')$ によりテンソル積へ拡張し、$\omega$ の作用に関して不変性を保つ。
• $S$-行列をリボンねじれおよび双対性を用いて定義し、インターティナーや空間をモジュラー群表現へ関連付ける。
• $S$-行列の成分を型 $A_{n-1}$ のマクドナルド多項式の根の単位における値として表現し、シェレドニクの差分フーリエ変換の公式と一致させることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラーテンソルカテゴリのインターティナーや空間に、根の単位における量子群から生じる自然なヘルミート内積は存在するか？
• RQ2 この内積に関して、モジュラー群 $SL_2(\mathbb{Z})$ の作用はユニタリか？
• RQ3 このようなカテゴリの $S$-行列は、根の単位で評価されたマクドナルド多項式の形で表現可能か？
• RQ4 $\mathfrak{sl}_n$ の $S$-行列は、シェレドニクの差分フーリエ変換とどのように関係するか？
• RQ5 構築されたヘルミート内積は一般に正定値か？また、$\mathfrak{sl}_2$ 以外のケースでもその検証は可能か？

主な発見

• $U_\varepsilon\mathfrak{g}$ の既約表現に、不変条件 $H(xv, v') = H(v, S\omega(x)v')$ を満たす一意なヘルミート内積 $H$ が構成された。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ の場合、根の単位においてこの内積は正定値であることが、$q=1$ への連続的変形により証明された。
• $\mathfrak{sl}_n$ の $S$-行列成分が、型 $A_{n-1}$ のマクドナルド多項式の根の単位における特別値に等しいことが示された。
• これらの値はシェレドニクの差分フーリエ変換の行列係数と一致し、表現論と特殊関数の間の深い関係を確立した。
• モジュラー群 $SL_2(\mathbb{Z})$ のインターティナーや空間への作用は、構築された内積に関してユニタリである。
• 一般に内積が正定値であると予想され、$\mathfrak{sl}_2$ の場合で部分的な検証がなされた。