[論文レビュー] On integrability of infinitesimal actions

Ieke Moerdijk, J. Mrčun|ArXiv.org|Jun 6, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ある可積分なリー代数ラボイドが別のリー代数ラボイドに無限小作用を施す場合に生じる半直積リー代数ラボイドの可積分性条件を確立する。フォリエーション理論および主リー群ガロアバンドル上の接続を用いて、著者たちは、一般の仮定のもとでこのような半直積が可積分であることを証明している——特に、被作用ラボイドがフォリエーションであり、作用ラボイドに対して適切に正規化されており、または源がコンパクトで源が単連結な群ガロアによって可積分可能な場合——DazordおよびNistorの結果を一般化する。

ABSTRACT

We use foliations and connections on principal Lie groupoid bundles to prove various integrability results for Lie algebroids. In particular, we show, under quite general assumptions, that the semi-direct product associated to an infinitesimal action of one integrable Lie algebroid on another is integrable. This generalizes recent results of Dazord and Nistor.

研究の動機と目的

• 既知のケースを超えて、特に無限小作用の半直積に関するリー代数ラボイドの可積分性結果を一般化すること。
• 二つの可積分なリー代数ラボイドの半直積が自身で可積分であるための十分条件を確立すること。
• 変換ラボイドおよび平坦な分解をもつ正則ラボイドの可積分性に関する従来の結果を統合・拡張すること。
• フォリエーションおよび主リー群ガロアバンドル上の接続を用いた枠組みを構築し、リー代数ラボイド作用の文脈における可積分性を分析すること。

提案手法

• フォリエーション理論および主リー群ガロアバンドル上の接続を用いて、リー代数ラボイドの可積分性を分析する。
• リー群ガロアの源が単連結な被覆の概念を適用し、ラボイドから積分群ガロアを構成する。
• リー群ガロアのリー代数値接続の概念を導入し、経路の上り上げとホロノミーを制御する。
• フォリエーションによって誘導される被覆射影に沿った経路の上り上げを用いて、群ガロア $ H $ がモノドロミー群ガロア $ \mathrm{Mon}(M,\mathcal{F})_1 $ に作用することを構成する。
• 商 $ K = \mathrm{Mon}(M,\mathcal{F})/G/H $ を用いて、そのリー代数ラボイドが $ \mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{h} $ に同型であるリー群ガロアを構成する。
• ラボイドの部分ラボイドおよびラボイド間の準同型の可積分性に関する結果を適用し、主要定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの可積分なリー代数ラボイドの半直積 $ \mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{h} $ が自身でも可積分となる条件は何か？
• RQ2 変換ラボイドおよび平坦な分解をもつ正則ラボイドの可積分性は、共通の枠組みによって統合・一般化可能か？
• RQ3 フォリエーションおよび主リー群ガロアバンドル上の接続は、積分群ガロアの構成をどのように支援するか？
• RQ4 源が単連結な被覆およびベクトル場の完全性は、リー代数ラボイドの可積分性において果たす役割は何か？

主な発見

• ラボイド $ \mathfrak{h} $ がフォリエーションラボイドであれば、半直積 $ \mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{h} $ は可積分である。
• ラボイド $ \mathfrak{h} $ が適切な意味で $ \mathfrak{g} $ に対して正規化されている場合（定理5.4で明確化）、半直積は可積分である。
• ラボイド $ \mathfrak{h} $ が源がコンパクトで源が単連結なリー群ガロアによって可積分可能であれば、$ \mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{h} $ は可積分である（定理5.7で示された）。
• リー代数ラボイド $ \mathfrak{h} $ 上の微分作用のリー代数 $ \mathrm{Der}(\mathfrak{h}) $ は、その源が単連結な群ガロア $ H $ 上の乗法的ベクトル場のリー代数に同型である。
• リー群ガロア $ G $ が可積分なリー代数ラボイド $ \mathfrak{h} $ に作用する場合、適切な条件下で、その作用は $ \mathfrak{h} $ の積分群ガロアにまで拡張可能である。
• 商群ガロア $ K = \mathrm{Mon}(M,\mathcal{F})/G/H $ の構成により、そのリー代数ラボイドが $ \mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{h} $ に同型であるリー群ガロアが得られ、幾何的経路の上り上げおよび被覆論を用いて可積分性が裏付けられる。