[論文レビュー] On intersection density of transitive groups of degree a product of two odd primes

Ademir Hujdurović, Klavdija Kutnar+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、p と q を奇素数として p = (q^k - 1)/(q - 1) を満たす pq 次の推移的置換群を構成し、その交差密度が q であることを示した。これは、すべての such 群が交差密度 1 を持つという予想を反証するものである。構成には、すべての非零符号語が p 個未塔の非零成分を持つ F_q 上の巡回符号を用い、これにより大きな交差集合の存在が保証される。主な結果は、交差密度 q を持つ非可約群の族の構成であり、p が射影的素数であるとき、pq 次の群に対してこの予想が誤りであることを示している。

ABSTRACT

Two elements $g$ and $h$ of a permutation group $G$ acting on a set $V$ are said to be intersecting if $g(v) = h(v)$ for some $v \in V$. More generally, a subset ${\cal F}$ of $G$ is an intersecting set if every pair of elements of ${\cal F}$ is intersecting. The intersection density $ ho(G)$ of a transitive permutation group $G$ is the maximum value of the quotient $|{\cal F}|/|G_v|$ where $G_v$ is a stabilizer of $v\in V$ and ${\cal F}$ runs over all intersecting sets in $G$. Intersection densities of transitive groups of degree $pq$, where $p>q$ are odd primes, is considered. In particular, the conjecture that the intersection density of every such group is equal to $1$ (posed in [ J.~Combin. Theory, Ser. A 180 (2021), 105390]) is disproved by constructing a family of imprimitive permutation groups of degree $pq$ (with blocks of size $q$), where $p=(q^k-1)/(q-1)$, whose intersection density is equal to $q$. The construction depends heavily on certain equidistant cyclic codes $[p,k]_q$ over the field $\mathbb{F}_q$ whose codewords have Hamming weight strictly smaller than $p$.

研究の動機と目的

• p と q を奇素数とする pq 次の推移的置換群の交差密度を調査すること。
• 文献[13]における予想 1.1(iii) の妥当性を検証すること。この予想は、すべての such 群が交差密度 1 を持つと述べている。
• pq 次の推移的群で交差密度が 1 を超えるものについて、明示的な例を構成すること。
• 制限された重みを持つ巡回符号と置換群の交差密度との間の関係を確立すること。
• 代数的符号理論を用いて、この予想の反例を提供すること。

提案手法

• F_q 上の長さ m の巡回符号 C から、シフト生成子 α と符号語による成分ごとの加法を用いて、Z_q × Z_m 上の置換群 G(C) を構成する。
• 各 c ∈ C に対して β_c を (i,j) ↦ (i + c_j, j) として定義し、(Z_q)^k に同型な正規部分群 K を得る。
• K ⋊ ⟨α⟩ としての半直積 G(C) = K ⋊ ⟨α⟩ を用い、α が第二座標に巡回シフトを生成することを活用する。
• C のすべての符号語が少なくとも一つのゼロ成分を持つならば、K のすべての元が少なくとも一つの点を固定するため、K はサイズ q^k の交差集合である。
• [6, 系2.6] を適用して ρ(G(C)) ≤ q を得られ、|K| = q^k からの下界と組み合わせて ρ(G(C)) = q を結論づける。
• 補題 4.5 を用いて、p = (q^k - 1)/(q - 1) が射影的素数である場合に、このような符号を構成可能であり、すべての非零符号語が p - q^{k-1} > 0 個のゼロ成分を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p > q を満たす奇素数 p, q に対して、[13] で予想されているように、pq 次のすべての推移的置換群が交差密度 1 を持つのであろうか？
• RQ2 pq 次の非可約群で、交差密度が 1 を超えるものを作成できるのであろうか？
• RQ3 制限されたハミング重みを持つ巡回符号は、置換群における大きな交差集合の構成にどのような役割を果たすのであろうか？
• RQ4 p と q にどのような条件下で、交差密度 q の群の構成が可能となるのであろうか？
• RQ5 射影的素数と、このような高密度交差集合の存在との間に、関係があるのであろうか？

主な発見

• 本稿は、p = (q^k - 1)/(q - 1) を満たす pq 次の非可約推移的置換群の族を構成し、その交差密度が q に等しいことを示した。
• この構成により、[13] の予想 1.1(iii) が反証された。この予想は、すべての pq 次の推移的群が交差密度 1 を持つと主張していた。
• 構成には、F_q 上の長さ p の巡回符号を用い、すべての非零符号語がハミング重みが p より小さいことを保証することで、対応する群が大きな交差集合を持つことを保証している。
• 最小の反例として、[11,5]_3 巡回符号から、交差密度 3 の 33 次の推移的群が得られる。
• p が射影的素数、すなわち p = (q^k - 1)/(q - 1) を満たす素数冪 q と整数 k ≥ 2 に対して、このような群の存在が保証される。
• この方法により、合成次数 pq の推移的群であっても、交差密度が 1 を超えることが可能であることが確認され、従来の仮定に反する。