[論文レビュー] On Inverse Cascades in Astrophysics

P. Olesen|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 1996

Gas Dynamics and Kinetic Theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、外部力が作用しない三次元ナビエ-ストークス系および磁気流体系において、特定の初期条件のもとでエネルギーが小スケールから大スケールへと逆カスケードを経験することが示されている。初期エネルギースペクトルが波数 $k$ に比例する場合、時間発展は普遍的なスケーリング形 $k\psi(k^2t)$ に従い、時間の経過とともにエネルギーが大スケールへと移動することが示唆され、宇宙初期の磁場および密度揺らぎの形成に影響を及ぼす可能性がある。

ABSTRACT

We consider primordial spectra with simple power behaviours and show that from the Navier-Stokes and magnetohydrodynamics equations without forcing, there exists systems in three dimensions with a subsequent inverse cascade, transferring energy from small to large scales. The most stringent example is the following: If the initial ``primordial'' energy spectrum at time t=0 is linear in k, and if the diffusion coefficient is time-independent, it follows that the energy spectrum at time t is given by $k \\psi(k^2t)$, where $\\psi$ is a function of the scaling variable $k^2t$. In general this implies that for increasing time, the energy spectrum moves towards smaller values of k. This can have consequences in astrophysics for the evolution of density fluctuations, for primordial magnetic fields, and for the effect of diffusion. We also discuss the less stringent case of an initial spectrum $k^{\\alpha}$, where results are obtained in the ``inertial'' range, where diffusion can be ignored. For $\\alpha >-$3 there is an inverse cascade, whereas for $\\alpha<-$3 there is a forward cascade.

研究の動機と目的

• 外部力のない三次元流体および磁気流体系において逆カスケードが出現するかどうかを調査すること。
• 特に外部力がない状況において、エネルギーが小スケールから大スケールへと移動する条件を特定すること。
• 初期のべき乗則スペクトル $k^\alpha$ を仮定したもとで、拡散および慣性領域の役割に注目し、エネルギースペクトルの時間発展を分析すること。
• このようなカスケードが原始的磁場および密度揺らぎの進化に与える天体物理学的影響を評価すること。

提案手法

• 外部力なしを仮定したもとで、ナビエ-ストークス方程式および磁気流体力学方程式からエネルギースペクトルの時間発展を導出する。
• $t=0$ における初期エネルギースペクトルを $k$ に比例すると仮定し、定数の拡散係数を用いてスケーリング形 $k\psi(k^2t)$ を導出する。
• 次元解析およびスケーリング論法を用いて、系が変数 $k^2t$ に支配される自己相似的発展を示すことを示す。
• 拡散が無視できる慣性領域を想定し、一般の初期スペクトル $k^\alpha$ における挙動を分析する。
• 指数 $\alpha$ に基づいてカスケードの方向を分類し、逆カスケード（$\alpha > -3$）と前向きカスケード（$\alpha < -3$）を区別する。
• 解析的解およびスケーリング理論を用いて、時間経過に伴う波数空間におけるエネルギー分布の特徴を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部力のない三次元流体系において、どのような条件下で逆カスケードが発生するか？
• RQ2 初期のべき乗則スペクトル $k^\alpha$ がエネルギーカスケードの方向をどのように決定するか？
• RQ3 初期スペクトルが $k$ に比例する場合、時間の経過に伴いエネルギースペクトルの関数的形はどのように変化するか？
• RQ4 定数の拡散係数がエネルギースペクトルのスケーリング行動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 このような逆カスケードが原始的磁場および密度揺らぎに与える天体物理学的影響は何か？

主な発見

• 初期エネルギースペクトルが $k$ に比例する場合、時間発展スペクトルは普遍的なスケーリング形 $k\psi(k^2t)$ をとる。ここで $\psi$ はスケーリング変数 $k^2t$ の関数である。
• スケーリング行動は、時間の経過とともにエネルギーが小スケールから大スケールへと移動することを示し、逆カスケードを示している。
• 拡散が無視できる慣性領域では、$\alpha > -3$ のとき逆カスケードが発生し、$\alpha < -3$ のときは前向きカスケードが発生する。
• 系は自己相似的発展を示し、時間の経過とともにエネルギースペクトルが普遍的な曲線に収束する。
• 結果から、逆カスケードが原始的磁場の増幅および初期の天体物理学的プラズマにおける大スケール密度揺らぎの成長に寄与する可能性があると示唆される。