[論文レビュー] On inverse scattering in electromagnetic field in classical relativistic mechanics at high energies

Alexandre Jollivet|ArXiv.org|Jun 2, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、高エネルギーにおける古典的相対論的力学において、散乱作用素の速度成分が、十分に速やかに減衰するポテンシャルをもつ多次元電磁場において、スカラーおよびベクトルポテンシャル (V, A) を一意に特定することを確立している。高エネルギー漸近挙動とX線変換の逆問題を用いて、d ≥ 2 のとき V と B（場強度テンソル）が散乱データから一意に再構成可能であることを証明している。一方、d = 2 の場合、構成成分は B を一意に特定できないが、d ≥ 3 の場合には可能である。

ABSTRACT

We consider the multidimensional Newton-Einstein equation in static electromagnetic field $$\eqalign{\dot p = F(x,\dot x), F(x,\dot x)=- abla V(x)+{1\over c}B(x)\dot x,\cr p={\dot x \over \sqrt{1-{|\dot x|^2 \over c^2}}}, \dot p={dp\over dt}, \dot x={dx\over dt}, x\in C^1(\R,\R^d),}\eqno{(*)}$$ where $V \in C^2(\R^d,\R),$ $B(x)$ is the $d imes d$ real antisymmetric matrix with elements $B\_{i,k}(x)={\pa\over \pa x\_i}\A\_k(x)-{\pa\over \pa x\_k}\A\_i(x)$, and $|\pa^j\_x\A\_i(x)|+|\pa^j\_x V(x)| \le β\_{|j|}(1+|x|)^{-(α+|j|)}$ for $x\in \R^d,$ $|j| \le 2,$ $i=1..d$ and some $α> 1$. We give estimates and asymptotics for scattering solutions and scattering data for the equation $(*)$ for the case of small angle scattering. We show that at high energies the velocity valued component of the scattering operator uniquely determines the X-ray transforms $P abla V$ and $PB\_{i,k}$ for $i,k=1..d,$ $i eq k.$ Applying results on inversion of the X-ray transform $P$ we obtain that for $d\ge 2$ the velocity valued component of the scattering operator at high energies uniquely determines $(V,B)$. In addition we show that our high energy asymptotics found for the configuration valued component of the scattering operator doesn't determine uniquely $V$ when $d\ge 2$ and $B$ when $d=2$ but that it uniquely determines $B$ when $d\ge 3.$

研究の動機と目的

• 高エネルギーにおける静的な電磁場内での相対論的粒子の逆散乱問題を調査すること。
• 散乱データが電磁ポテンシャル (V, A) を一意に再構成できる条件を特定すること。
• 散乱解の高エネルギー漸近挙動とその場成分への依存性を分析すること。
• 散乱作用素の速度成分からスカラー電位 V と場強度テンソル B の一意再構成を確立すること。
• 特に低次元における B と V の特定における散乱作用素の構成成分の限界を明確にすること。

提案手法

• 相対論的運動量とスカラーおよびベクトルポテンシャルに依存する力を持つ多次元ニュートン＝アインシュタイン方程式を定式化する。
• 散乱解析のための十分な正則性と可積分性を保証するため、V と A に減衰条件（α > 1）を課す。
• 摂動的および積分的技法を用いて、散乱解と散乱データの高エネルギー漸近挙動を導出する。
• 散乱データと直線上における ∇V および B_{i,k} の空間積分を結びつけるために、X線変換 P に依存する。
• 既知の X線変換の逆問題結果を応用し、散乱作用素の速度成分から V と B を再構成する。
• フーリエ解析と分布論を用いて磁場成分を扱い、再構成写像の単射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高エネルギーにおける散乱作用素の速度成分は、d ≥ 2 のときスカラー電位 V を一意に特定できるか？
• RQ2 高エネルギー散乱データは、d ≥ 3 のとき電磁場強度テンソル B を一意に再構成できるか？
• RQ3 なぜ散乱作用素の構成成分は d = 2 のとき B を一意に特定できないのか？
• RQ4 散乱データから ∇V および B_{i,k} のX線変換をどの程度回復できるか？
• RQ5 V と A に課される減衰条件は、散乱問題の可逆性にどのように影響するか？

主な発見

• 高エネルギーにおける散乱作用素の速度成分は、すべての i, k について i ≠ k を満たす範囲で、∇V および B_{i,k} のX線変換を一意に特定する。
• d ≥ 2 のとき、速度成分はX線変換 P の逆問題を用いて V と B を一意に再構成可能である。
• 構成成分は d ≥ 2 のとき V を一意に特定できない。
• 構成成分は d = 2 のとき B を一意に特定できないが、d ≥ 3 のとき一意に特定可能である。
• B の再構成は、X線データのフーリエ変換と、単射性を保証するための横方向ゲージ条件の使用に依存する。
• 証明では、緩和分布とフーリエ変換の単射性を用いて、B_{m,n} が散乱データ w₄(A, θ, x) によって一意に決定されることを示している。