[論文レビュー] On Inviscid Limits for the Stochastic Navier-Stokes Equations and Related Models

Nathan Glatt-Holtz, Vladimír Šverák+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 54被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式における粘性係数νに比例するノイズスケーリング√νを用いた、非粘性極限における不変測度の性質を調査している。その結果、極限測度は有界な渦度に台を持つこと、かつ2次元オイラー方程式に対して不変であることが示された。弱く減衰する確率的ナビエ＝ストークス系では、非自明な非粘性極限を得られるのはゼロ次ノイズ（ν⁰スケーリング）のみであり、これはバッチェラー＝クラインハナン乱流理論と関連している。

ABSTRACT

We study inviscid limits of invariant measures for the 2D Stochastic Navier-Stokes equations. As shown in \cite{Kuksin2004} the noise scaling $\sqrt{ν}$ is the only one which leads to non-trivial limiting measures, which are invariant for the 2D Euler equations. We show that any limiting measure $μ_{0}$ is in fact supported on bounded vorticities. Relationships of $μ_{0}$ to the long term dynamics of Euler in the $L^{\infty}$ with the weak$^{*}$ topology are discussed. In view of the Batchelor-Krainchnan 2D turbulence theory, we also consider inviscid limits for the weakly damped stochastic Navier-Stokes equation. In this setting we show that only an order zero noise (i.e. the noise scaling $ν^0$) leads to a nontrivial limiting measure in the inviscid limit.

研究の動機と目的

• 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の非粘性極限として得られる不変測度の構造と正則性を分析すること。
• 非粘性極限において非自明な極限測度をもたらす適切なノイズスケーリングを特定すること。
• 極限測度が、L∞における弱*位相での2次元オイラー方程式の長期的ダイナミクスとどのように関連しているかを明らかにすること。
• 弱く減衰する確率的ナビエ＝ストークス系への解析を拡張し、非自明な非粘性極限を支えるノイズスケーリングを同定すること。
• 得られた結果を、エネルギーおよび渦度のスケーリングの観点から2次元乱流のバッチェラー＝クラインハナン理論と結びつけること。

提案手法

• 乗法的ノイズを√νスケーリングで用いた2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の渦度形式を用いて、不変測度を研究する。
• Sobolev空間およびBesov型ノルム（例：時間に倣って負のSobolev空間に値をとるW^{1/3,2}およびW^{1/3,4}）を含む関数空間における緊密性の議論を適用する。
• 解の逐次的収束を確実に得るため、Skorokhodの定理を用いてC([0,T];H^{-3})およびL²([0,T];H⁰)におけるほとんど確実収束を部分列で抽出する。
• L²(Ω;L²([0,T];H^{1−γ/2}))およびL∞(Ω;L∞([0,T];H⁰))における極限過程の弱収束および弱*収束を確立する。
• 近似過程の定常性と収束性を用いて、極限過程が定常的であり、不変測度μ₀を有することを証明する。
• 減衰作用素Y_lowを有する弱く減衰する系を分析し、ν⁰ノイズスケーリングが非自明な非粘性極限をもたらす唯一のものであることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式における、非粘性極限で非自明な不変測度をもたらすノイズスケーリングは何か？
• RQ2 極限不変測度μ₀が有する正則性特性、特に渦度の有界性に関しては何か？
• RQ3 極限測度μ₀は、L∞における弱*位相での2次元オイラー方程式の長期的ダイナミクスとどのように関連しているか？
• RQ4 弱く減衰する確率的ナビエ＝ストークス系において、非自明な非粘性極限を支えるノイズスケーリングは何か？
• RQ5 得られた結果は、エネルギー分布およびスケーリングの観点から、バッチェラー＝クラインハナンの2次元乱流理論とどのように整合するか？

主な発見

• 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式において、非自明な極限不変測度をもたらす唯一のノイズスケーリングは√νであり、これにより有界な渦度に台を持つ測度が得られる。
• 極限測度μ₀は2次元オイラー方程式に対して不変であり、L∞における弱*位相でのオイラー力学の定常解に対応する。
• 弱く減衰する確率的ナビエ＝ストークス系では、非自明な非粘性極限をもたらすのはν⁰スケーリング（ゼロ次ノイズ）のみである。
• 負のSobolev空間に値をとる時間に沿ったW^{1/3,2}およびW^{1/3,4}ノルムにおける一様有界性を用いて、解の分布の緊密性が確立される。
• 極限過程が定常的であり、測度の意味で2次元オイラー方程式を満たすことが示され、極限測度の不変性が裏付けられる。
• 結果は、非粘性極限において速度の有界性が粘性に依存しないという予想を含むバッチェラー＝クラインハナンの2次元乱流像を支持する。