[論文レビュー] On Irregular Linear Quadratic Control: Deterministic Case

Huanshui Zhang, Juanjuan Xu|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 25被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、グラミアン行列と指定された行列を用いて開ループ可解性を確立することで、連続時間系における不規則な線形二次コントロールを扱う。その後、部分系上で標準のリッカティ方程式を用いてフィードバックコントローラーを導出する。主な貢献は、標準のリッカティ方程式が不規則性のため適用不能となる状況において、可解性基準とコントローラー設計法を提示することにある。

ABSTRACT

The optimal linear quadratic controller is usually designed based on a Riccati equation. However, when the Riccati is irregular, the problem becomes much more difficult since it is not clear what tools should be applied instead to design the controller. This paper is concerned with the linear quadratic control problem governed by continuous-time system. We firstly show that the solvability of the open-loop control can be fully depicted by a Gramian matrix and a specified matrix. The controller is given via the Gramian matrix and a standard Riccati equation associated with a subsystem. The key to solve the problem is to convert the open-loop solvability into the controllability of a differential equation based on the maximum principle and the solution of a forward and backward differential equation. Moreover, we give the closed-loop solution in the feedback form. The stochastic case will be reported in another paper.

研究の動機と目的

• 標準のリッカティ方程式が不規則であるがゆえに適用不能となる線形二次コントロールの課題に対処すること。
• 開ループ制御問題の可解性を、グラミアン行列と指定された行列を用いて特徴付けること。
• 部分系上で標準のリッカティ方程式を用いて、閉ループフィードバックコントローラーを導出すること。
• 最大原理を用いて、開ループ可解性と微分方程式の可制御性との間の関係を確立すること。
• 古典的リッカティ手法が不規則な状況で失敗するのを回避するコントローラー設計のフレームワークを提供すること。

提案手法

• 最大原理を用いて、開ループ可解性を微分方程式系の可制御性に関連付ける。
• 開ループ制御問題を可解性を分析できる前向き・後ろ向き微分方程式系に変換する。
• 可解性条件を完全に特徴付けるために、グラミアン行列と指定された行列を定義する。
• 元の系を、標準のリッカティ方程式が解ける部分系に分解する。
• 部分系におけるリッカティ方程式の解とグラミアン行列を用いて、コントローラーを構築する。
• グラミアンとリッカティ解を用いて制御則を表現することで、閉ループフィードバック解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準のリッカティ方程式が不規則である場合、どのようにして開ループ可解性を特徴付けることができるか？
• RQ2 グラミアン行列と指定された行列が、線形二次コントロール問題の可解性を決定づける役割を果たすのはどのような点か？
• RQ3 古典的リッカティ手法が失敗する状況で、どのようにしてフィードバックコントローラーを構築できるか？
• RQ4 最大原理は、どのようにして開ループ可解性から微分方程式の可制御性への移行を容易にするか？
• RQ5 元の系と、リッカティ方程式を解くために用いられる部分系との間の構造的関係は何か？

主な発見

• 開ループ可解性は、グラミアン行列と指定された行列の逆行列性によって完全に特徴付けられ、必要十分条件を提供する。
• コントローラーは、部分系における標準のリッカティ方程式の解を用いて明示的に構築され、フィードバック実装が可能になる。
• 可解性条件は、最大原理および前向き・後ろ向き微分方程式系の解を用いて導出される。
• 閉ループ解はフィードバック形式で表現されており、元のリッカティ方程式が不規則であっても実装可能性が保証される。
• 問題を適切に定式化された部分系に還元することにより、古典的リッカティ手法の失敗を効果的に回避する。
• 標準のリッカティ方程式が不規則なために適用不能となる状況においても、体系的なコントローラー設計のフレームワークを提供する。