[論文レビュー] On irreversible dynamic monopolies in general graphs

Ching-Lueh Chang, Yuh‐Dauh Lyuu|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2009

Game Theory and Applications参考文献 9被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、一般の有向および無向グラフにおける厳密多数派および単純多数派閾値ルール下での、不可逆的動的独占（ダイナモ）の最小サイズに対するより緊密な上界を確立する。厳密多数派ルール下では最小ダイナモサイズが (2/3)|V| 未満であり、単純多数派ルール下では |V|/2 未満であると示し、無向連結グラフではさらに改善された ⌈|V|/2⌉ の上界を得た。さらに、多項式時間 ((1/2−ε)ln|V|)-近似が、NP ⊆ TIME(n^{O(ln ln n)}) でない限り、有向グラフや二部グラフ（直径 ≤8）でさえも存在しないことを示した。

ABSTRACT

Consider the following coloring process in a simple directed graph $G(V,E)$ with positive indegrees. Initially, a set $S$ of vertices are white, whereas all the others are black. Thereafter, a black vertex is colored white whenever more than half of its in-neighbors are white. The coloring process ends when no additional vertices can be colored white. If all vertices end up white, we call $S$ an irreversible dynamic monopoly (or dynamo for short) under the strict-majority scenario. An irreversible dynamo under the simple-majority scenario is defined similarly except that a black vertex is colored white when at least half of its in-neighbors are white. We derive upper bounds of $(2/3)\,|\,V\,|$ and $|\,V\,|/2$ on the minimum sizes of irreversible dynamos under the strict and the simple-majority scenarios, respectively. For the special case when $G$ is an undirected connected graph, we prove the existence of an irreversible dynamo with size at most $\lceil |\,V\,|/2 ceil$ under the strict-majority scenario. Let $ε>0$ be any constant. We also show that, unless $ ext{NP}\subseteq ext{TIME}(n^{O(\ln \ln n)}),$ no polynomial-time, $((1/2-ε)\ln |\,V\,|)$-approximation algorithms exist for finding the minimum irreversible dynamo under either the strict or the simple-majority scenario. The inapproximability results hold even for bipartite graphs with diameter at most 8.

研究の動機と目的

• 一般有向グラフにおける厳密多数派閾値ルール下での不可逆的動的独占（ダイナモ）の最小サイズに対する既知の上界を改善すること。
• 一般グラフにおける単純多数派閾値ルール下での最小ダイナモサイズに対するより緊密な上界を確立すること。
• 無向連結グラフの特殊ケースにおいて、厳密多数派ルール下での最小ダイナモサイズに対する改善された上界を導出すること。
• 厳密多数派および単純多数派の両ルール下での最小ダイナモの計算に対して、強い近似不能性結果を示すこと。特に、直径が小さい二部グラフなどの制限付きグラフクラスに対しても成り立つこと。
• 最小ダイナモの多項式時間 ((1/2−ε)ln|V|)-近似アルゴリズムが、NP ⊆ TIME(n^{O(ln ln n)}) でない限り存在しないことを示すこと。

提案手法

• 特定の頂点および辺の追加を伴う、無向グラフ G から有向グラフ G̃ への変換を構築し、閾値動的を模倣する。
• 最小支配集合問題への還元を用いて近似不能性を証明し、Feigeによる支配集合の近似不能性結果を活用する。
• in-degree を制御し、変換後のグラフで奇数の次数を強制するために、{w_u}、{g_1, g_2}、{X_u}、{Y_v}、{z_1, z_2} などの補助集合を定義する。
• 変換後のグラフ G̃ において、すべての頂点の in-degree が奇数であるため、厳密多数派および単純多数派ルールが一致することを保証する。
• G̃ における小さな初期集合 S が、G における小さな支配集合に対応することを証明し、近似不能性のギャップを確立する。
• 確率的および組合せ的議論を用いて、初期集合のサイズおよびグラフパラメータに基づき、得られる支配集合のサイズの上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般有向グラフにおける厳密多数派ルール下での不可逆的ダイナモの最小サイズに対する、最も緊密な上界は何か？
• RQ2 無向連結グラフにおいて、厳密多数派ルール下での最小ダイナモサイズの上界は、さらに小さくできるか？
• RQ3 一般グラフにおける単純多数派ルール下での不可逆的ダイナモの最小サイズに対する、最も緊密な上界は何か？
• RQ4 制限付きグラフクラス（例：直径が小さい二部グラフ）でさえも、両多数派ルール下での最小ダイナモの計算に対して強い近似不能性結果が得られるか？
• RQ5 最小ダイナモの多項式時間 ((1/2−ε)ln|V|)-近似アルゴリズムが、いずれの多数派ルールに対しても存在するか？

主な発見

• 任意の有向グラフにおいて、厳密多数派ルール下での不可逆的ダイナモの最小サイズは (2/3)|V| 未満であり、以前の (23/27)|V| の上界を改善した。
• 無向連結グラフでは、厳密多数派ルール下での不可逆的ダイナモの最小サイズは ⌈|V|/2⌉ 未満である。
• 任意の有向グラフにおいて、単純多数派ルール下での不可逆的ダイナモの最小サイズは |V|/2 未満である。
• NP ⊆ TIME(n^{O(ln ln n)}) でない限り、厳密多数派または単純多数派ルール下での最小不可逆的ダイナモを求める多項式時間 ((1/2−ε)ln|V|)-近似アルゴリズムは存在しない。
• この近似不能性結果は、直径が 8 未満の二部グラフに対しても成り立つ。
• 近似不能性の証明は、最小支配集合問題への還元に依拠しており、閾値動的を保持するとともに、in-degree を奇数に保つように注意深く構築されたグラフ変換を用いる。これにより、厳密多数派および単純多数派ルールが統一される。