[論文レビュー] On Isodual Cyclic Codes over Finite Fields and Finite Chain Rings: Monomial Equivalence

Aicha Batoul, Kenza Guenda+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は有限鎖環上の巡回等双対符号について調査し、生成多項式、体の特徴、符号長に基づく存在条件を確立する。また、有限鎖環への双対的符号構成の拡張を行い、剰余体上の双対的符号のヘンゼル上昇を用いた等双対符号および自己双対符号の明示的構成法を提供する。主な結果として、特定の代数的条件下で符号とその双対符号との間で単項同値性が成り立つことが示されている。

ABSTRACT

This paper present the construction cyclic isodual codes over finite fields and finite chain rings. These codes are monomially equivalent to their dual. Conditions are given for the existence of cyclic isodual codes. In addition, the concept of duadic codes over finite fields is extended to finite chain rings. Several constructions of isodual cyclic codes and self-dual codes are given.

研究の動機と目的

• 有限体上の双対的符号理論を有限鎖環へ拡張すること。
• 有限鎖環上の巡回等双対符号の存在および構造的性質を調査すること。
• ヘンゼル上昇による双対的符号の上昇を用いて、等双対符号および自己双対符号の明示的構成法を提供すること。
• 有限鎖環上での巡回符号とその双対符号との間の単項同値性を確立すること。
• 既知の有限体上での等双対符号に関する結果を、より一般的な有限鎖環の設定に一般化すること。

提案手法

• 有限鎖環上の巡回符号の構造定理を用い、$x^n - 1$ の互いに素な多項式への因数分解により符号を表現する。
• ヘンゼルの補題を適用し、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の双対的符号を有限鎖環 $R$ 上に上昇させる。
• 単項変換と逆多項式を用いて、符号の双対性および同値性を分析する。
• 乗法的位数 $\text{ord}_n(q)$ と二次剰余条件を用いて、双対的符号の存在を特定する。
• 同調的重みの等長性を用いて、単項同値性の下でも符号構造が保存されることを示す。
• 生成多項式が $(x^{2^{a-1}} \pm 1) \prod g_i(\alpha^{-k}x)$ の形である符号を構成する。ここで $\alpha$ は $R^*$ 内の $2^a$ 乗単根である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限鎖環上での巡回等双対符号は、どのような条件下で存在するか？
• RQ2 有限体上の双対的符号は、どのように有限鎖環に上昇され、等双対符号を生成するか？
• RQ3 分割自己準同型 $\mu_{-1}$ は、符号とその双対符号との間の単項同値性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 逆多項式およびヘンゼル上昇の性質は、鎖環上の巡回符号の双対性にどのように影響するか？
• RQ5 代数的数論と多項式因数分解を用いて、有限鎖環上での自己双対符号および等双対符号を体系的に構成できるか？

主な発見

• 有限鎖環上での巡回等双対符号が長さ $2^a m$ に存在するのは、剰余体に長さ $m$ の奇的双対的符号のペアが存在する場合に限る。
• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の双対的符号のヘンゼル上昇により、有限鎖環 $R$ 上の巡回符号が得られ、特定の条件下でその符号は双対符号と単項同値である。
• 分割が $\mu_{-1}$ であるとき、$(x^{2^{a-1}} - 1)\prod g_i(\alpha^{-k}x)$ で生成される符号の双対符号は、$i \neq j$ のとき $(x^{2^{a-1}} + 1)\prod g_j(\alpha^{-k}x)$ で生成される符号と単項同値である。
• $R = \mathbb{Z}_{25}$、$m = 11$、$q = 5$ の場合、最小ハミング距離が 6 および 8 の長さ 22 の等双対巡回符号を明示的に構成した。
• 逆多項式作用は、単項同値性の下でも双対性構造を保存し、$C = \langle (x-1)g_i(x), \gamma g_i(x)g_j^*(x) \rangle$ を用いた自己双対符号の構成が可能になる。
• $n \equiv -1 \pmod{4}$ かつ $q$ が $n$ を法として二次剰余であるとき、双対的符号が存在し、その上昇により $\mathbb{Z}_4$ や他の鎖環上での等双対符号が得られる。