[論文レビュー] On isogeny classes of Edwards curves over finite fields

Omran Ahmadi, Robert Granger|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2011

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、奇標数の有限体上におけるエドワーズ曲線の同種類の完全分類を、エドワーズ曲線とレジェンドル曲線の間の2-同一型を確立することによって達成している。これにより、同種類の正確な数え上げが可能となり、すべての同種類に完全エドワーズ曲線が存在することを証明している。主な結果には、群の位数の整除性に基づくオリジナルエドワーズ曲線への同種条件と、各同種類内での完全曲線またはオリジナル曲線を生成するパラメータの割合を明示的に与える公式が含まれる。

ABSTRACT

We count the number of isogeny classes of Edwards curves over finite fields, answering a question recently posed by Rezaeian and Shparlinski. We also show that each isogeny class contains a {\em complete} Edwards curve, and that an Edwards curve is isogenous to an {\em original} Edwards curve over $\F_q$ if and only if its group order is divisible by 8 if $q \equiv -1 \pmod{4}$, and 16 if $q \equiv 1 \pmod{4}$. Furthermore, we give formulae for the proportion of $d \in \F_q \setminus \{0,1\}$ for which the Edwards curve $E_d$ is complete or original, relative to the total number of $d$ in each isogeny class.

研究の動機と目的

• 有限体上におけるエドワーズ曲線の同種類を数えるという最近の未解決問題を解決すること。
• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上でエドワーズ曲線がオリジナルエドワーズ曲線に同種であるための条件を特定すること。
• 各同種類内でのパラメータ $d \in \mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$ のうち、完全エドワーズ曲線を生成する割合を計算すること。
• 同種類の列挙のため、エドワーズ曲線とレジェンドル曲線の間の明示的2-同一型を介して、構造的関係を確立すること。

提案手法

• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上のエドワーズ曲線 $E_d$ とレジェンドル曲線 $L_d$ の間の2-同一型を確立し、文字和の恒等式とテートの定理を活用する。
• カーツの最近のレジェンドル曲線の同種類の分類を用いて、エドワーズ曲線の同種類の数を導出する。
• デューリング風の類数公式を適用して、各同種類における完全エドワーズ曲線のパラメータ $d$ の数を計算する。
• 異なる曲線タイプ（例：完全、オリジナル）のパラメータ集合の間の明示的双対写像を構築し、割合の公式を導出する。
• 有限体 $\mathbb{F}_q$ における平方記号に応じて、$E_d$ が $E_{1-d}, E_{1/d}, E_{1-1/d}, E_{d/(d-1)}$ に4-同一型であることを活用する。
• ハフ曲線とエドワーズ曲線の既知の同型関係を用いて、関連する曲線族へ結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇標数の有限体 $\mathbb{F}_q$ 上に存在するエドワーズ曲線の同種類はいくつあるか？
• RQ2 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上でエドワーズ曲線がオリジナルエドワーズ曲線に同種であるための条件は何か？
• RQ3 与えられた同種類内でのパラメータ $d \in \mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$ のうち、完全エドワーズ曲線を生成する割合は何か？
• RQ4 パラメータのうち、オリジナルエドワーズ曲線を生成する割合は何か？また、これは $q \mod 4$ にどのように依存するか？
• RQ5 エドワーズ曲線の同種構造は、レジェンドル曲線との関係を介して完全に特徴付けられるか？

主な発見

• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上のエドワーズ曲線の同種類の数は、カーツの結果により完全に分類されたレジェンドル曲線の同種類構造に依存する。
• すべてのエドワーズ曲線の同種類には、少なくとも1つの完全エドワーズ曲線が含まれており、各同種類におけるそのような $d$ 値の数はデューリング風の類数公式を用いて計算可能である。
• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上のエドワーズ曲線 $E_d$ がオリジナルエドワーズ曲線に同種であるための必要十分条件は、$q \equiv -1 \pmod{4}$ のとき群の位数が8で割り切れること、$q \equiv 1 \pmod{4}$ のときは16で割り切れる必要があることである。
• $q \equiv -1 \pmod{4}$ のとき、完全エドワーズ曲線を生成する $d$ の割合は、オリジナル曲線の割合と同じ公式で与えられる。$q \equiv 1 \pmod{4}$ のとき、その割合はカーツの比の定理を用いて導出される。
• $\mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$ の $d$ のうち、$E_d$ が完全である割合は、デューリングの公式とレジェンドル曲線への2-同一型を用いて、各同種類ごとに明示的に計算可能である。
• 本論文は、$q \equiv 1 \pmod{4}$ のとき $E_d$ と $E_{1-d}$ が $\mathbb{F}_q$ 上で4-同一型であることを確立している。より一般に、$-1$, $d$, $1-d$ の平方記号に応じて、$E_d$ は5つの他のエドワーズ曲線に4-同一型である。