[論文レビュー] On isolated log canonical singularities with index one

Osamu Fujino|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、最小モデルプログラムを用いて、指数1の孤立対数正則特異点の幾何的特徴付けを確立し、例外的除法の双対複体内の層の次元の最小値として定義される不変量 μ(P∈X) が、石井のホッジ理論的不変量と一致することを証明する。主な結果は、P∈X が型 (0,i) であるための必要十分条件が μ(P∈X)=i であることであり、ド・ブーブ特異点に依存せずに、幾何的およびホッジ理論的アプローチを統合する。

ABSTRACT

We give a method to investigate isolated log canonical singularities with index one which are not log terminal. Our method depends on the minimal model program. One of the main purposes is to prove that our invariant coincides with Ishii's Hodge theoretic invariant.

研究の動機と目的

• 指数1の孤立対数正則特異点で、対数極小でないものの幾何的特徴付けを提供すること。
• 例外的除法の双対複体内の層の次元の最小値として μ(P∈X) を定義し、その性質を調査すること。
• 最小モデルプログラムを用いて、この幾何的不変量と石井のホッジ理論的不変量の直接的な関係を確立すること。
• 双対複体のコホモロジーが、特に重みフィルトレーションを反映するように、例外的除法のホッジ構造を反映すること。
• 最小モデルプログラムのアプローチにより、ホッジ理論的手法だけでは到達できない性質（例：最小層の被約同型、連結性）を導出すること。

提案手法

• 解体 f:Y→X における例外的除法 E の双対複体内の層の次元の最小値として μ(P∈X) を定義する。
• dlt びらんと最小モデルプログラムを用いて、E 及びその層の構造を分析し、特に双対複体とその位相的実現に注目する。
• Mayer–Vietoris完全系列と混合ホッジ構造の重みフィルトレーションを用いて、Gr^W_k H^{n-1}(E, O_E) を計算する。
• 次元に関する帰納法と K∼0 を満たす sdlt 対の構造を用いて、Gr^W_k H^{n-1}(E, O_E) ≠ 0 が k=μ のみで成立することを証明する。
• 被約同型写像に沿ったコホモロジー群の引き戻しを含む可換図式を構成し、最小層のコホモロジーと E 全体のコホモロジーを関連付ける。
• 最小層が K∼0 を満たすのみでなく、 canonical 特異点を持つことから、コホモロジーにおける同型が重みフィルトレーションを保存することを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対複体内の層の次元によって定義される幾何的不変量 μ(P∈X) は、石井の型 (0,i) のホッジ理論的不変量と一致するか？
• RQ2 最小モデルプログラムを用いることで、ホッジ理論だけでは到達できない、例外的除法の双対複体の性質を導出できるか？
• RQ3 μ(P∈X)=0 のとき、双対複体 |Γ| の位相的およびコホモロジー的構造はいかなるものか？
• RQ4 例外的除法の層は被約同型写像の下でどのように振る舞い、互いに被約同型であるか？
• RQ5 指数1の孤立対数正則特異点において、双対複体 |Γ| のコホモロジーは、H^{n-1}(E, C) の重みフィルトレーションを反映するか？

主な発見

• 双対複体 E の層の次元の最小値として定義される不変量 μ(P∈X) は、石井のホッジ理論的不変量と一致する：P∈X が型 (0,i) であるための必要十分条件は μ(P∈X)=i である。
• 双対複体 |Γ| の次元は n−1−μ であり、μ=0 のとき、すべての i に対して H^i(|Γ|, C) ≃ H^i(E, O_E) が成り立つ。
• μ=0 のとき、特異点 P∈X はコhen–Macaulay（同値に、Gorenstein）であるための必要十分条件は、H^i(|Γ|, C) が i=0 および i=n−1 で C であり、それ以外では 0 であることである。
• E の任意の既約成分 E_{i_0} に対して、∑_{i≠i_0} E_i|_{E_{i_0}} は高々2つの連結成分を持つ。
• E の任意の2つの最小層は被約同型である。これはホッジ理論的手法では到達できない結果である。
• Mayer–Vietoris系列における接続写像は、同型 H^μ(C', O_{C'}) ≃ H^{n-1}(T, O_T) および H^μ(C, O_C) ≃ H^{n-1}(E, O_E) を誘導し、重みフィルトレーションを保存する。