[論文レビュー] On Isolated Singularities of Fractional Semi-Linear Elliptic Equations

Hui Yang, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、原点に孤立特異点をもつ分数階半線形楕円型方程式 $(-Δ)^\sigma u = u^p$ の非負解の局所的挙動を調査する。ここで $\sigma \in (0,1)$ であり、$\frac{n}{n-2\sigma} < p < \frac{n+2\sigma}{n-2\sigma}$ である。Caffarelli-Silvestre の拡張と、ブロー・アップ法および Liouville 型定理を組み合わせることで、鋭い上界を確立し、特異点が除去可能であるか、あるいは原点近傍で $|x|^{-2\sigma/(p-1)}$ のように振る舞うことを証明する。これは古典的なラプラシアン ($\sigma=1$) の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we study the local behavior of nonnegative solutions of fractional semi-linear equations $(-Δ)^σu = u^p$ with an isolated singularity, where $\sg \in (0, 1)$ and $\frac{n}{n-2\sg} &lt; p &lt; \frac{n+2\sg}{n-2\sg}$. We first use blow up method and a Liouville type theorem to derive an upper bound. Then we establish a monotonicity formula and a sufficient condition for removable singularity to give a classification of the isolated singularities. When $\sg=1$, this classification result has been proved by Gidas and Spruck (Comm. Pure Appl. Math. 34: 525-598, 1981).

研究の動機と目的

• 非負解 $(-\Delta)^\sigma u = u^p$ の孤立特異点の性質を、$B_1 \setminus \{0\}$ において分類すること。ここで $\sigma \in (0,1)$ であり、$p$ は臨界範囲内にある。
• Gidas と Spruck (1981) の古典的分類結果（ラプラシアンの場合、$\sigma=1$）を分数階ラプラシアンの場合に拡張すること。
• 拡張法と単調性公式を用いて、特異解の原点近傍における減衰率の鋭い点ごとの推定を確立すること。
• 特異点が除去可能（すなわち、$u$ が原点に連続に拡張可能）であるか、$u(x) \sim |x|^{-2\sigma/(p-1)}$ であるかのいずれかであることを証明すること。
• 分数階設定では Pohozaev 恒等式が利用できないため、適切なバリア関数を構成し、注意深く選ばれた切断関数でテストすることで、その欠如を補うこと。

提案手法

• Caffarelli-Silvestre の拡張を用いて、$\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ における分数階方程式 $(-\Delta)^\sigma u = u^p$ を、上半空間 $\mathbb{R}^{n+1}_+$ における退化楕円型問題に変換する。
• ブロー・アップ法と Liouville 型定理を用いて、$u(x) \leq c |x|^{-2\sigma/(p-1)}$ の形の上界を導出する。
• バリア関数 $\Phi = |X|^{-\tau} - \delta t^{2\sigma} |X|^{-(\tau+2\sigma)}$ を構成する。ここで $\tau = \frac{n-2\sigma}{p-1}(p - \frac{n}{n-2\sigma})$ である。
• 重み付き発散定理を適用し、解 $U$ を切断関数 $\zeta$ と組み合わせたバリア $\zeta \Phi$ でテストすることで、積分推定を得る。
• ハルナック不等式を用いて、拡張空間における $U$ の成長を制御し、$\epsilon$ に依存しない一様な境界を導出する。
• 仮定 $\liminf_{x \to 0} |x|^{2\sigma/(p-1)} u(x) = 0$ のもとで、$u^{p-1}$ が $|x| \to 0$ のとき減衰することを用いて、可積分性を証明し、特異点の除去を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負解 $(-\Delta)^\sigma u = u^p$ が原点に孤立特異点をもつ場合、$\sigma \in (0,1)$ かつ $\frac{n}{n-2\sigma} < p < \frac{n+2\sigma}{n-2\sigma}$ のもとで、その正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 孤立特異点が除去可能であるとは、どのような条件下で、解が原点に連続に拡張可能となるか？
• RQ3 特異点が非除去可能である場合、解は原点近傍でどのように減衰するか？
• RQ4 Gidas と Spruck による $\sigma=1$ の古典的分類結果は、分数階の場合 $\sigma \in (0,1)$ に拡張可能か？
• RQ5 分数階設定では Pohozaev 恒等式が利用できないが、点ごとの推定を得るためにどのような手法を用いることができるか？

主な発見

• 解 $u(x)$ は、ある $c_2 > 0$ を用いて、原点近傍で上界 $u(x) \leq c_2 |x|^{-2\sigma/(p-1)}$ を満たす。
• 特異点が非除去可能である場合、ある $c_1 > 0$ を用いて、鋭い下界 $c_1 |x|^{-2\sigma/(p-1)} \leq u(x)$ を満たすため、$x \to 0$ のとき $u(x) \sim |x|^{-2\sigma/(p-1)}$ となる。
• 拡張解 $U(X)$ はハルナック不等式により、原点近傍で $C_1 |X|^{-2\sigma/(p-1)} \leq U(X) \leq C_2 |X|^{-2\sigma/(p-1)}$ を満たす。
• $\liminf_{x \to 0} |x|^{2\sigma/(p-1)} u(x) = 0$ のとき、特異点は除去可能であり、$u$ は原点に連続に拡張可能である。
• 証明はバリア関数 $\Phi$ の構成と、切断関数 $\zeta$ でのテストに依存し、$u |x|^{-(n - 2\sigma/(p-1))}$ の一様 $L^1$ 界が得られる。これにより可積分性が示され、特異点の除去が結論づけられる。
• この結果は、Gidas と Spruck (1981) の $\sigma=1$ の古典的ケースを分数階設定に一般化し、臨界範囲における孤立特異点の完全な分類を確立する。