[論文レビュー] On Isosystolic Inequalities for T^n, RP^n, and M^3

K. Nakamura|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 49被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限被覆が最大の $\field{Z}/2\mathbb{Z}$-コhomologyカップ長さを持つ閉 $n$-多様体 $M$ に対して、鋭い等周的不等式を確立する：$\operatorname{Sys}(M,g)^n \leq n! \cdot \operatorname{Vol}(M,g)$。この不等式は、Burago-Hebda および Guth の結果を一般化し、$T^n$、$\mathbb{R}P^n$、および大多数の閉本質的3次元多様体に適用可能であり、このような多様体に対して普遍的な定数 $C = n!$ を提供する。

ABSTRACT

If a closed smooth n-manifold M admits a finite cover whose Z/2Z-cohomology has the maximal cup-length, then for any riemannian metric g on M, we show that the systole Sys(M,g) and the volume Vol(M,g) of the riemannian manifold (M,g) are related by the following isosystolic inequality: Sys(M,g)^n \leq n! Vol(M,g). The inequality can be regarded as a generalization of Burago and Hebda's inequality for closed essential surfaces and as a refinement of Guth's inequality for closed n-manifolds whose Z/2Z-cohomology has the maximal cup-length. We also establish the same inequality in the context of possibly non-compact manifolds under a similar cohomological condition. The inequality applies to (i) T^n and all other compact euclidean space forms, (ii) RP^n and many other spherical space forms including the Poincaré dodecahedral space, and (iii) most closed essential 3-manifolds including all closed aspherical 3-manifolds.

研究の動機と目的

• 広範なクラスの閉 $n$-多様体に対して、小さな定数を伴う普遍的な等周的不等式を確立すること。
• コhomology的条件の下で、Guthの不等式における大きな普遍的定数を $n!$ に置き換えることによる改良。
• 類似のコhomology的仮定の下で、非コンパクト多様体に対しても不等式を拡張すること。
• 特に3次元において、本質的多様体を等周的不等式の存在によって特徴付けること。
• $T^n$、$\mathbb{R}P^n$、および大多数の閉本質的3次元多様体の最適等周的定数を特定すること。

提案手法

• $\hat{M}$ の $\field{Z}/2\mathbb{Z}$-コhomology における最大カップ長さを、等周的不等式の存在を保証する位相的条件として用いる。
• $\hat{Q}^*$ および $R^*$ の局所被覆から $\hat{M}$ を構成するための Mayer-Vietoris 列の応用により、コhomology的条件が保たれることを保証する。
• 閉多様体において、等周長が非可縮性を持つ最短の閉測地線ループによって実現されることを活用する。
• 素分解を用いた本質的多様体への還元と、$S^2 \rtimes S^1$、レンズ空間、球面空間形式などの和成分の解析により問題を簡略化する。
• 特に $V_{-k} = \#_k(S^2 \rtimes S^1)$ における体積と等周長の振る舞いに関する既知の結果を用いて、非本質的多様体が等周的不等式をもたないことを示す。
• コhomology的および幾何的議論を用いて、不等式 $\operatorname{Sys}(M,g)^n \leq n! \cdot \operatorname{Vol}(M,g)$ を確立し、カップ長さ条件を満たす多様体のクラスにおいて $n!$ が最適定数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大の $\field{Z}/2\mathbb{Z}$-コhomologyカップ長さを持つ多様体に対して、小さな定数を伴う普遍的な等周的不等式を確立できるか？
• RQ2 $T^n$、$\mathbb{R}P^n$、および大多数の閉本質的3次元多様体に対して、不等式 $\operatorname{Sys}(M,g)^n \leq n! \cdot \operatorname{Vol}(M,g)$ が成り立つか？
• RQ3 最大カップ長さを持つ有限被覆が、等周的不等式の鋭さを決定する役割を果たすか？
• RQ4 $T^n$ や $\mathbb{R}P^n$ のような多様体において、最適等周的定数 $C = n!$ が達成可能か？
• RQ5 主定理がカバーしない本質的3次元多様体は存在するか？また、そのような多様体に対しても、小さな定数を伴う不等式を拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、有限被覆 $\hat{M}$ が最大の $\field{Z}/2\mathbb{Z}$-コhomologyカップ長さを持つ任意の閉 $n$-多様体 $M$ に対して、$\operatorname{Sys}(M,g)^n \leq n! \cdot \operatorname{Vol}(M,g)$ を証明する。
• $T^n$ および $\mathbb{R}P^n$ に対してこの不等式は鋭く、与えられたコhomology的条件下でこれら多様体の最適等周的定数が $n!$ であることを示す。
• この結果は、本質的曲面に対する Burago-Hebda の不等式および、最大カップ長さを持つ $n$-多様体に対する Guth の不等式を一般化・改善する。
• 同じコhomology的仮定の下で、非コンパクト多様体に対しても不等式が拡張可能である。
• この不等式を満たす多様体のクラスには、すべてのコンパクトなユークリッド空間形式、$\mathbb{R}P^n$、多くの球面空間形式（ピカード・ドデカヘドロン空間を含む）および大多数の閉本質的3次元多様体が含まれる。
• 3次元において、この不等式はすべての閉ア一スフェラ的3次元多様体および $S^2 \times S^1$、$S^2 \rtimes S^1$、奇数位数の基本群をもつレンズ空間とホメオモーフィックでないすべての非可約3次元多様体に対して成り立つ。