[論文レビュー] On J. Borwein's concept of sequentially reflexive Banach spaces

Peter Ørno|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 1991

Advanced Banach Space Theory参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は J. Borwein が提起した問題を解決し、バナッハ空間が逐次的弱反射的である—つまり、その双対空間における任意の弱*収束列がノルム収束する—ことと、ℓ¹ と同型な部分空間を含まないこととは同値であることを証明している。この特徴づけは ℓ¹ が部分空間として存在しないことに依拠し、バナッハ空間理論における逐次的反射的性質の完全で内的な基準を提供する。

ABSTRACT

A Banach space $X$ is reflexive if the Mackey topology $τ(X^*,X)$ on $X^*$ agrees with the norm topology on $X^*$. Borwein [B] calls a Banach space $X$ {\it sequentially reflexive\/} provided that every $τ(X^*,X)$ convergent {\it sequence\/} in $X^*$ is norm convergent. The main result in [B] is that $X$ is sequentially reflexive if every separable subspace of $X$ has separable dual, and Borwein asks for a characterization of sequentially reflexive spaces. Here we answer that question by proving \proclaim Theorem. {\sl A Banach space $X$ is sequentially reflexive if and only if $\ell_1$ is not isomorphic to a subspace of $X$.}

研究の動機と目的

• J. Borwein が提起した、逐次的弱反射的バナッハ空間の完全な特徴づけを提供すること。
• 双対空間における任意の弱*収束列がノルム収束するための必要十分条件を特定すること。
• バナッハ空間の構造に関連する逐次的反射的性質に関する関数解析学における未解決問題を解消すること。
• ℓ¹ 構造の非存在と双対空間における逐次的反射的性質との間の関係を確立すること。
• 位相的収束構造に依存しない、代わりに構造的基準を用いて逐次的反射的バナッハ空間を特徴づけること。

提案手法

• 証明は双対性理論およびバナッハ空間双対における弱*収束の性質に依拠している。
• ℓ¹ がバナッハ空間 X に同型的に埋め込めるならば、X* は ℓ∞ と同型な部分空間を含むことを使い、ノルム収束でない弱*収束列の存在を示している。
• 背理法による議論：ℓ¹ が X の部分空間と同型ならば、X は逐次的弱反射的ではない。
• 逆に、ℓ¹ が X のいかなる部分空間とも同型でなければ、X* における τ(X*,X)-収束列はすべてノルム収束する。
• 証明は、特に ℓ∞* の非分離性を用いた、可分双対および ℓ¹ と ℓ∞ の構造に関する古典的結果を活用している。
• 主な技術的道具は、バナッハ＝アラオグルの定理および有界ネットと汎関数を用いた弱*収束の特徴づけである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間が Borwein の意味で逐次的弱反射的であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 位相的収束構造に依存せずに、逐次的弱反射的性質を特徴づけることは可能か？
• RQ3 ℓ¹ と同型な部分空間の存在は、双対空間における逐次的反射的性質を妨げるか？
• RQ4 逐次的弱反射的バナッハ空間を完全に特徴づける構造的（位相的ではなく）不変量は存在するか？
• RQ5 ℓ¹ への同型埋め込みの非存在は、双対空間における弱*位相での列の収束性とどのように関係するか？

主な発見

• バナッハ空間 X が逐次的弱反射的であることと、ℓ¹ が X のいかなる部分空間とも同型でないことは同値である。
• X に ℓ¹ の埋め込みがないことにより、X* における任意の弱*収束列がノルム収束することが保証される。
• X に ℓ¹ と同型な部分空間が含まれるならば、X* においてノルム収束でない弱*収束列が存在するため、X は逐次的弱反射的ではない。
• この特徴づけは鋭く、X の部分空間構造にのみ依存する構造的基準である。
• この結果により、Borwein が提起した逐次的弱反射的空間の特徴づけに関する未解決問題が解決された。
• 証明は、ℓ¹ の埋め込みの非存在と双対空間における列の収束性の間の深い関係を確立している。