[論文レビュー] On Jensen's inequality for generalized Choquet integral with an application to risk aversion

Wioletta Szeligowska, Marek Kałuszka|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2016

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ひとこと要約

本稿は、容量の対に関して一般化コーシュー積分に対してジェンセンの不等式が成り立つための必要十分条件を確立する。不等式が成り立つのは、容量 μ が ν の双対（μ ≤ ḡν）に支配されているときであり、この結果を非加法的期待効用理論におけるリスク回避のアロウ＝プラットの定理の一般化に応用する。

ABSTRACT

In the paper we give necessary and sufficient conditions for the Jensen inequality to hold for the generalized Choquet integral with respect to a pair of capacities. Next, we apply obtained result to the theory of risk aversion by providing the assumptions on utility function and capacities under which an agent is risk averse. Moreover, we show that the Arrow-Pratt theorem can be generalized to cover the case, where the expectation is replaced by the generalized Choquet integral.

研究の動機と目的

• 二つの容量に関して一般化コーシュー積分に対してジェンセンの不等式が成り立つための必要十分条件を導出すること。
• 期待値が一般化コーシュー積分に置き換えられる状況において、古典的リスク回避理論を拡張すること。
• コーシュー積分の枠組みを用いて、非加法的測度におけるリスク回避に関するアロウ＝プラットの定理を一般化すること。
• 一般化積分下での効用関数の凹型と容量の性質に基づいて、リスク回避の特徴づけを提供すること。

提案手法

• 容量 μ と ν を用いて、一般化コーシュー積分を $ C_{\mu\nu}(X) = \int_0^\infty \mu(X > t)\,dt - \int_{-\infty}^0 \nu(X < t)\,dt $ として定義する。
• 単調性、斉次性、平行移動不変性などの一般化コーシュー積分の性質を用いて、構造的挙動を分析する。
• 関数 f が増加的かつ凹型で f(0) ≥ 0 を満たすとき、ジェンセンの不等式 $ C_{\mu\nu}(f(X)) \leq f(C_{\mu\nu}(X)) $ が成り立つのは、$ \mu \leq \overline{\nu} $ であるときかつそのときに限ることを証明する。
• 非加法的測度における確実性同等価格とリスクプレミアムのモデル化を通じて、効用理論に応用する。
• 一般化コーシュー積分が期待値に置き換わる状況で、リスク回避が効用関数の凹型に対応することを示すことにより、アロウ＝プラットの定理を一般化する。
• 可能性測度、信頼度、信用度、およびハーウィッツ測度などの容量の例を用いて、理論的結果が実用的意思決定文脈でどのように解釈されるかを説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 容量 μ と ν に対して、一般化コーシュー積分に対してジェンセンの不等式が成り立つ条件は何か？
• RQ2 数学的期待値が一般化コーシュー積分に置き換えられる場合、古典的アロウ＝プラットの定理はどのように拡張できるか？
• RQ3 非加法的測度の文脈において、効用関数の凹型とリスク回避の関係は何か？
• RQ4 信用度、可能性、信頼度などの異なるタイプの容量は、リスク回避や確実性同等価格の解釈にどのように影響を与えるか？
• RQ5 不等式 $ \mu \leq \overline{\nu} $ は、一般化コーシュー積分に対するジェンセンの不等式の妥当性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 関数 f が増加的かつ凹型で f(0) ≥ 0 を満たすとき、ジェンセンの不等式 $ C_{\mu\nu}(f(X)) \leq f(C_{\mu\nu}(X)) $ がすべての f に対して成り立つのは、$ \mu \leq \overline{\nu} $ であるときかつそのときに限る。ここで $ \overline{\nu} $ は ν の双対容量である。
• アロウ＝プラットの定理が一般化される：一般化コーシュー積分下で、エージェントがリスク回避的であるのは、効用関数が凹型であるときかつそのときに限る。
• 損失 X が財産 w で有界であるとき、リスク回避は x ≥ 0 において効用関数の凹型と同値であり、相対的リスク回避度はアロウ＝プラットの指標 $ r_u(x) = -u''(x)/u'(x) $ で測定される。
• 対称的コーシュー積分（すなわち $ \mu = \nu $）かつ $ \mu(A) + \mu(A^c) = 1 $ を満たす容量に対して、効用関数が凹型であるとき、リスクプレミアムは依然として非負である。
• u が凹型で $ \mu \leq \overline{\nu} $ であるとき、確実性同等価格 $ \widehat{\pi}_u(X,w) $ はリスク中立的プレミアム $ \pi_0 $ 以上となり、リスク回避を示す。
• 信用度測度およびその他の不確実性測度（例：可能性、信頼度）が有効な容量であることが示され、それらを一般化コーシュー積分に用いることで、凹型効用関数下でのリスク回避構造が保たれる。