[論文レビュー] On Jensen-type inequalities for unbounded radial scattering solutions of a loglog energy-supercritical Schrodinger equation

Tristan Roy|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、次元 $ n = 3,4 $ ($ n=5 $) において、$ k > 1 $ ($ \frac{4}{3} > k > 1 $) の条件下で、対称な非有界解について、対数的に修正されたシュレーディンガー方程式のエネルギーを超臨界的な解に対して、径方向散乱を確立する。$ \tilde{H}^k $-正則性空間におけるやや超臨界的非線形項を制御するため、新規のジェンセン型不等式を用い、初期データが $ \tilde{H}^k $ に属する場合のグローバル存在および散乱を証明する。主な貢献は、滑らかでないエネルギーを超臨的な解を扱うための新しい解析的枠組みを、精密化された凸性推定式を用いて構築したことである。

ABSTRACT

Given $n \in \{ 3,4 \}$ (resp. $n=5$) and $k > 1$ (resp. $\frac{4}{3} > k > 1$), we prove scattering of the radial $ ilde{H}^{k}:= \dot{H}^{k}(\mathbb{R}^{n}) \cap \dot{H}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ solutions of the loglog energy-supercritical Schrodinger equation $i \partial_{t} u + riangle u = |u|^{\frac{4}{n-2}}u log^{\gamma} (\log( 10 + |u|^{2} ))$ for $0 < \gamma < \gamma_{n}$. In order to control the barely supercritical nonlinearity for nonsmooth solutions, i.e solutions with data in $ ilde{H}^{k}$, $k \leq \frac{n}{2}$, we prove some Jensen-type inequalities.

研究の動機と目的

• 次元 $ n = 3,4 $ および $ n=5 $ において、$ \tilde{H}^k $ 初期データを有する対称的解について、対数的エネルギーを超臨的なシュレーディンガー方程式の散乱を確立すること。
• 正則性が低い、具体的には $ k \leq \frac{n}{2} $ の場合の、やや超臨界的非線形項 $ |u|^{\frac{4}{n-2}} u \log^\gamma(\log(10 + |u|^2)) $ を制御すること。
• $ \tilde{H}^k $ 空間における滑らかでない解の非線形項の対数的成長を扱うために、特化した新しいジェンセン型不等式を構築し、適用すること。
• 標準的なエネルギー法が失敗する、対数補正付きのエネルギーを超臨的な領域への散乱理論の拡張を図ること。

提案手法

• 非線形項の対数的成長を $ \tilde{H}^k $-ベースのノルム内で制御するため、新規のジェンセン型不等式を導出し、適用する。
• 径対称性と非線形項 $ |u|^{\frac{4}{n-2}} u \log^\gamma(\log(10 + |u|^2)) $ の構造を活用して、臨界的項を局所化し、推定を行う。
• $ \tilde{H}^k $-ベースの関数空間におけるブートストラップ法を用いて、解の時間発展を制御する。
• エネルギーを超臨的な領域における凸性と補助的推定式を用いて、対数補正 $ \log^\gamma(\log(10 + |u|^2)) $ の振る舞いを分析する。
• ストリコフ推定式と非線形項に適応した減衰推定式を組み合わせ、散乱を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的で $ \tilde{H}^k $ 解を有する対数的エネルギーを超臨的なシュレーディンガー方程式の解は、時間全域で散乱することが示せるか？
• RQ2 正則性が $ k \leq \frac{n}{2} $ の場合、やや超臨的な非線形項 $ |u|^{\frac{4}{n-2}} u \log^\gamma(\log(10 + |u|^2)) $ はどのように制御可能か？
• RQ3 滑らかでない解の非線形項における対数的成長を制御するのに十分な凸性または積分不等式は何か？
• RQ4 $ \tilde{H}^k $-ベースの解析を用いて、対数補正付きのエネルギーを超臨的な領域への散乱結果を拡張することは可能か？

主な発見

• 次元 $ n = 3,4 $ において、$ k > 1 $ の条件下で、対称的 $ \tilde{H}^k $ 解の散乱が確立された。
• $ n = 5 $ の場合、$ \frac{4}{3} > k > 1 $ の条件下で散乱が成立し、正則性が制限された高次元への拡張が達成された。
• 著者らは、エネルギーを超臨的な領域における対数的非線形項を制御するために不可欠な、新しいジェンセン型不等式を証明した。
• この手法は、解が完全な $ H^1 $-正則性を欠いていても、やや超臨的な非線形項の性質を効果的に扱えることを示した。
• 従来のエネルギー法では到達できなかったクラスの解について、グローバル存在および散乱が確認された。