[論文レビュー] ON JET BUNDLES AND GENERALIZED VERMA MODULES

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、高次直像、消滅イデアル、およびLie理論的技法を用いて、Grassmannian 上の l-次ジャンプバンドルのファイバーと一般化Verma加群の標準的フィルトレーションの間の明確な対応関係を確立する。主な結果は、Grassmannian 上の任意の線束の l-次判別式が 1 ≤ l ≤ d の範囲で非可約であることである。

ABSTRACT

The aim of this paper is to initiate a study of the jet bundles on the grassmannian $X$ over a field of characteristic zero using higher direct images of $G$-linearized sheaves, Lie theoretic methods, enveloping algebra theoretic methods and generalized Verma modules. We calculate the $P$-module of the dual jet bundle $J^l(L)^*$ and prove it equals the $l$'th piece of the canonical filtration for $H^0(X,L)^*$. We use the results obtained to prove the discriminant of any linear system on any grassmannian is irreducible.

研究の動機と目的

• ジャンプバンドルのファイバーの P-加群構造を表現論的道具を用いて記述すること。
• 同調空間上のジャンプバンドルと一般化Verma加群、および SL(V)-加群の既約なものの標準的フィルトレーションを結びつけること。
• この記述を用いて、Grassmannian 上の線形系の判別式の研究に応用すること。
• ジャンプバンドルのファイバーの P-加群構造を用いて、1 ≤ l ≤ d の範囲で Dl(OX(d)) の非可約性を証明すること。
• 双対複体から導かれるジャンプバンドルを用いた理想層の分解を構成する基盤を提供すること。

提案手法

• G-線形化局所自由層 G/P 上と有限次元 P-加群の間の同倣を用いて、幾何的対象を表現論的対象に翻訳すること。
• G-線形化層の高次直像を適用し、X × X 上の導来函手の形式的枠組みを用いてジャンプバンドル Pl_X(OX(d)) を分析すること。
• Taylor写像 T^l: H^0(X, OX(d)) ⊗ OX → Pl_X(OX(d)) を構成し、1 ≤ l ≤ d に対してその全射性を証明すること。
• 最高重みベクトルの消滅イデアルを用いて、普遍包あらゆる代数 U(g) を用いて、H^0(X, OX(d))∗ の双対の標準的フィルトレーション Ul(g)v を定義すること。
• 同型 Pl_X(OX(d))(x)* ≅ Ul(g)v を用いて、一般化Verma加群構成を介してジャンプバンドルのファイバーを P-加群として特定すること。
• Bottの定理を適用してジャンプバンドルの外冪のコホモロジー群を計算し、Koszul複体と双対複体によるシンジーギーの研究を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的な点 x ∈ G/P における l-次ジャンプバンドル Pl_X(OX(d)) のファイバーの P-加群構造は何か？
• RQ2 普遍包あらゆる代数と消滅イデアルを用いて、H^0(X, OX(d))∗ の双対の標準的フィルトレーション Ul(g)v を明示的にどのように記述できるか？
• RQ3 Grassmannian X = G(m, m+n) 上の線束 OX(d) の l-次判別式 Dl(OX(d)) は 1 ≤ l ≤ d の範囲で非可約か？
• RQ4 ジャンプバンドル Pl_X(OX(d)) の外冪のコホモロジーは、表現論的道具を用いて計算可能か？ その結果、判別式のシンジーギーを研究できるか？
• RQ5 ジャンプバンドルから導かれる双対複体は、Dl(OX(d)) の理想層の分解を構成するためにどのように利用できるか？

主な発見

• 特徴的な点 x ∈ G/P における l-次ジャンプバンドルのファイバー Pl_X(OX(d))(x)* は、P-加群として Ul(g)v に同型であり、ここで Ul(g)v は H^0(X, OX(d))∗ の標準的フィルトレーションの l-番目である。
• Ul(g)v の次元は dim_K(Ul(g)v) = (mn + l choose l) で与えられ、ジャンプバンドルのファイバーの次元と一致する。これにより、同型がベクトル空間としての同型であることが証明される。
• 1 ≤ l ≤ d に対して、Taylor写像 T^l: H^0(X, OX(d)) ⊗ OX → Pl_X(OX(d)) は全射である。これは、ジャンプバンドルを商として構成する上で重要な技術的結果である。
• 1 ≤ l ≤ d に対して、l-次判別式 Dl(OX(d)) は非可約である。これは、層 Q_l,d の局所自由性と [12, Corollary 2.6] の適用により示される。
• 外冪 ∧^i Pl_X(OX(d))(x)* は P-加群として ∧^i Ul(g)v に同型であり、このフィルトレーションは既約な商を許容するため、Bottの定理を用いたコホモロジー計算が可能である。
• 双対複体 Ci,j(T^l) = OX(−i) ⊗ H^j(X, ∧^i Pl_X(OX(d))∗) は、Dl(OX(d)) のシンジーギーを研究するために用いられ、コホモロジー群は標準的フィルトレーションと消滅イデアルを用いて計算可能である。