[論文レビュー] On joint estimates for maximal functions and singular integrals in weighted spaces

María Carmen Reguera, James Scurry|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Muckenhoupt-Wheeden予想に対する明示的な反例を構成する。具体的には、$L^p(w)$ 上で Hardy-Littlewood maximal 演算子が有界であるが、Hilbert 変換は有界でないような重みを示し、$A_p$ 系においては両者が同値であるにもかかわらず、その関係が成り立たないことを示している。著者らは、正の測度の集合上で消える非二重、compactly supported な重みを用い、その厳密な正性の欠如に起因する性質を活用して、最大関数と特異積分の有界性を分離している。

ABSTRACT

We consider a conjecture attributed to Muckenhoupt and Wheeden which suggests a positive relationship between the continuity of the Hardy-Littlewood maximal operator and the Hilbert transform in the weighted setting. Although continuity of the two operators is equivalent for $A_p$ weights with $1 < p < \infty$, through examples we illustrate this is not the case in more general contexts. In particular, we study weights for which the maximal operator is bounded on the corresponding $L^p$ spaces while the Hilbert transform is not. We focus on weights which take the value zero on sets of non-zero measure and exploit this lack of strict positivity in our constructions. These type of weights and techniques have been explored previously in Reguera \cite{1008.3943} and Reguera-Thiele \cite{1011.1767}.

研究の動機と目的

• Muckenhoupt と Wheeden が提起した予想を反証すること。この予想は、二重重み設定における Hardy-Littlewood maximal 演算子と Hilbert 変換の有界性の間に深い関係があると示唆している。
• 有界性の同値性が $A_p$ 系以外では成り立たないことを示すこと。具体的には、最大関数が有界であっても Hilbert 変換が有界でないような重みの存在を示す。
• 非二重、compactly supported で正の測度の集合上で消える重みの明示的例を構築すること。このような重みでは最大関数は有界だが Hilbert 変換は有界でない。
• dyadic 演算子および $L^1$ 端末推定に関する以前の反例を、一般の Calderón-Zygmund 環境および $1 < p < \infty$ の $L^p$ 空間へと拡張すること。
• Muckenhoupt-Wheeden 予想の必要条件が一般には成り立たないことを示し、二重重み設定において最大関数と特異積分の有界性の間に事前に成立する関係がないことを示すこと。

提案手法

• 非二重で compactly supported であり、正の測度の集合上で消える重み $u$ を構成し、$M: L^p(u) \to L^p(u)$ が有界であるが $H: L^p(u) \to L^p(u)$ が有界でないことを示す。
• Reguera [1008.3943] および Reguera-Thiele [1011.1767] の枠組みを用い、$A_p$ 外の重みでは特異積分のキャンセレーション性質を回避できることを示している。
• 重み $v = \left(\frac{Mw}{w}\right)^p w$ を定義し、$M$ が $L^p(v) \to L^p(w)$ および $L^{p'}(w^{1-p'}) \to L^{p'}(w/(Mw)^{p'})$ で有界であることをテストするが、$H$ が $L^p(v) \to L^p(w)$ で有界でないことを示す。
• Nazarov らが示した $A_1$ 重みにおける弱型推定 (1.13) の失敗を応用し、期待される弱型制御が成り立たない反例を構成する。
• 二重重み理論の技術、特にコロナ分解とテスト条件を用いて、Muckenhoupt-Wheeden 予想の失敗を分析する。
• $A_p$ 重みは a.e. 正であるが、著者らはこの性質を破る重みを構築し、最大関数と特異積分の有界性の同値性を破っている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hardy-Littlewood maximal 演算子が $L^p(w)$ 上で有界であることは、$A_p$ 系外において Hilbert 変換が $L^p(w)$ 上で有界であることを十分に保証するか？
• RQ2 $w$ が $A_p$ に属さない場合でも、$M$ が $L^p(w)$ 上で有界だが $H$ が有界でないような重み $w$ を構成できるか？
• RQ3 Muckenhoupt-Wheeden 予想は一般の重みにおいて二重重み設定で成り立つか、それとも最大関数は有界だが特異積分は有効でない反例が存在するか？
• RQ4 $A_p$ 重みの厳密な正性が、最大関数と特異積分の有界性の同値性に果たす役割は何か？
• RQ5 $A_1$ 重みにおける Hilbert 変換の弱型推定の失敗を、$1 < p < \infty$ の $L^p$ における強型反例の構成に利用できるか？

主な発見

• 本稿では、任意の $1 < p < \infty$ に対して、$M: L^p(u) \to L^p(u)$ が有界であるが $H: L^p(u) \to L^p(u)$ が有界でない非自明な重み $u$ を構成している。
• 重み $w$ および $v = \left(\frac{Mw}{w}\right)^p w$ に対して、最大関数は $M: L^p(v) \to L^p(w)$ および $M: L^{p'}(w^{1-p'}) \to L^{p'}(w/(Mw)^{p'})$ を満たすが、$H: L^p(v) \to L^p(w)$ は有界でない。
• $M(\cdot \gamma): L^2(\gamma) \not\to L^2(\lambda)$ であるが $H(\cdot \gamma): L^2(\gamma) \to L^2(\lambda)$ が有界である例が提示され、Muckenhoupt-Wheeden 予想の必要条件が一般には成り立たないことが示された。
• 構築された重みはいかなる $A_p$ クラスにも属さない。これらは compactly supported であり、二重性条件も満たさないため、標準的な $A_p$ 重みとは明確に区別される。
• 反例は正の測度の集合上で消える重みに依存しており、$A_p$ 系における同値性を支えるキャンセレーション機構が破られている。
• 結果として、二重重み設定において最大関数の有界性と Hilbert 変換の有界性の間に事前に成立する関係がないことが示された。