[論文レビュー] On jump-diffusion processes with regime switching: martingale approach

Antonio Di Crescenzo, Nikita Ratanov|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランダムな時刻にパラメータが切り替わるルールスイッチング付きジャンプ・ドリフト過程をマルティンググールに基づいてモデル化する手法を開発する。Volterra方程式を用いて最小エントロピー・マルティンググール測度（MEMM）を導出し、Lévy過程とは異なり、このルールスイッチング設定ではエッシャー変換がMEMMを導かないこと、および非線形エントロピー力学のため、最適測度が時間の長さに依存することを示す。

ABSTRACT

We study jump-diffusion processes with parameters switching at random times. Being motivated by possible applications, we characterise equivalent martingale measures for these processes by means of the relative entropy. The minimal entropy approach is also developed. It is shown that in contrast to the case of Lévy processes, for this model an Esscher transformation does not produce the minimal relative entropy.

研究の動機と目的

• ルールスイッチング付きジャンプ・ドリフト過程の同値マルティンググール測度を特徴づけること。
• この非マルコフ的かつ非Lévy的過程クラスの最小エントロピー・マルティンググール測度（MEMM）を構築すること。
• Lévy過程とは異なり、このモデルではエッシャー変換がMEMMを導かないことを示すこと。
• 標準的なLévyモデルとは異なり、最小エントロピー測度が時間の長さに依存することを示すこと。
• ルールスイッチング下でのエントロピー最小化問題を解くためのボルテラ型方程式を導出し、解くこと。

提案手法

• 過程を、時間に依存する確定的ドリフト、拡散、および半マルコフ的スイッチング過程によって駆動されるジャンプ成分の組み合わせとしてモデル化する。
• 物理確率測度下での同値マルティンググール測度を導出するためにギルサノフの定理を適用する。
• 相対エントロピーを定義し、エントロピー関数を用いた変分的アプローチにより最小化問題を定式化する。
• エントロピーを最小化する最適測度パラメータ（λ₁*, λ₂*）を求めるためのボルテア積分方程式系を導出する。
• エントロピー汎関数の2階微分を用いて、解の一意性および凸性を証明する。
• 対称的および非対称的ケースを分析し、異なるパrameter設定下でのMEMMの挙動を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルールスイッチング付きジャンプ・ドリフト過程に対して、最小エントロピー・マルティンググール測度は一意に定まるか？
• RQ2 このルールスイッチングモデルでは、エッシャー変換が最小相対エントロピー測度を生成するか？
• RQ3 この非Lévy過程において、時間の長さは最小エントロピー測度にどのように影響するか？
• RQ4 エントロピー関数の構造は何か？また、スイッチング強度およびジャンプパラメータにどのように依存するか？
• RQ5 対称的と非対称的パラメータ設定の違いが、最適測度およびエントロピー最小化にどのように影響するか？

主な発見

• ルールスイッチング付きジャンプ・ドリフト過程に対して、最小エントロピー・マルティンググール測度（MEMM）は一意に定まり、存在する。
• Lévy過程とは異なり、このモデルではエッシャー変換がMEMMを生成できない。これは、スイッチング強度を調整できないためである。
• 最適測度パラメータλ₁*およびλ₂*は時間の長さに依存しており、最小エントロピーが時不変でないことを示している。
• 対称的ケース（λ₁=λ₂, σ₁=σ₂, c₁=−c₂, h₁=−h₂）では、MEMMは時間に依存しない定数測度に簡略化される。
• エントロピー関数H₁(t)およびH₂(t)は時間に対して非線形であり、標準的なLévyモデルで見られる線形挙動とは矛盾する。
• 与えられた条件下で、エントロピー最小化問題の解はボルテア方程式系を用いて得られ、一意な解を有する。