[論文レビュー] On $k$-free-like groups

A. Yu. Olshanskii, Mark Sapir|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$k$-free-like群——$k$-元生成集合に関して、Cheeger定数が一様に有界で、ゴーサーが任意に大きい有限生成群——を導入し、特徴づける。小サブグループ理論および双曲的・ねじれ群に関する結果を用いて、すべての $k \geq 2$ に対して、非自由で、有限生成かつ非有限生成の $k$-free-like群の具体的な例を構成し、自由群以外のこのような群の存在についての問いに答えを提示する。

ABSTRACT

A $k$-free like group is a $k$-generated group $G$ with a sequence of $k$-element generating sets $Z_n$ such that the girth of $G$ relative to $Z_n$ is unbounded and the Cheeger constant of $G$ relative to $Z_n$ is bounded away from 0. By a recent result of Benjamini-Nachmias-Peres, this implies that the critical bond percolation probability of the Cayley graph of $G$ relative to $Z_n$ tends to $1/(2k-1)$ as $n o \infty$. Answering a question of Benjamini, we construct many non-free groups that are $k$-free like for all sufficiently large $k$.

研究の動機と目的

• ベンジャミンが提起した、$k=2,3$ の場合に $k$-free-likeだが非自由な群の存在に関する問いを解決すること。
• 生成数 $m$ に対して、双曲的群が $k \geq m+1$ のとき $k$-free-likeであるという既知の結果を、ねじれ群および非初等的ケースに拡張すること。
• 「$k$-準恒等式」という概念を用いて、群が $k$-free-likeであるための必要十分条件を確立すること。
• ゴーサーが有界であっても、非自明な恒等式を満たさないことがあること——従来の仮定に反する——を示すこと。
• パーコレーション理論への応用を提供し、$k$-free-like群が理論的最小値 $\frac{1}{2k-1}$ に任意に近い臨界パーコレーション閾値を達成できることを示すこと。

提案手法

• 小サブグループ理論を用い、自由群に適切に選んだ関係式を導入することで、ゴーサーを大きくし、Cheeger定数に一様な下界を保証するように $k$-free-like群を構成する。
• HNN拡大と被覆積の極限である群 $\hat{H}$ を用い、2生成で非自由で、Cheeger定数が一様に有界でゴーサーが無限大に発散する群を構築する。
• オルシャンスキー（1991年）の、間隙的双曲的群およびねじれ群に関する結果を応用し、所望の性質を持つ例を構成する。
• $k$-準恒等式——すべての $k$-組が群を生成するとき、その単語が消える——という概念を用い、ゴーサーが有界である群を特徴づける。
• 非初等的双曲的群の一様非アーメン性（[ABLRS] より）を活用し、Cheeger定数が0から離れていることを保証する。
• すべての生成子の $k$-組が、ある $n$ に対して $x_i^n = 1$ を満たすならば、ゴーサーは $n$ で有界であることが示され、これと $k$-準恒等式の存在が関連づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自由な $k$-free-like群——特に $k=2,3$ の場合——は存在するか？
• RQ2 非初等的双曲的群は、生成数に近い $k$ に対して $k$-free-likeであるか？
• RQ3 $k$-生成群において、ゴーサーが有界であることと $k$-準恒等式の存在との関係は何か？
• RQ4 ねじれ群は $k$-free-likeである可能性があるが、その条件は何か？
• RQ5 $k$-free-like群の臨界パーコレーション閾値 $p_c$ は、理論的最小値 $\frac{1}{2k-1}$ にどの程度まで近づけるか？

主な発見

• 定理1では、小サブグループ理論を用いて、すべての $k \geq 2$ に対して $k$-free-likeである2生成で非自由で有限生成の群を構成する。
• 定理2では、すべての非バーチカルサイクルな $m$-生成双曲的群が、すべての $k \geq m+1$ に対して $k$-free-likeであり、ねじれのない群は $k \geq m$ に対しても成り立つことを示す。
• 定理3では、オルシャンスキーの定理39.4に基づく構成を用い、すべての $k \geq 3$ に対して $k$-free-likeである2生成ねじれ群を構成する。
• 本稿では、すべての $k$-元生成集合に対してゴーサーが一様に有界である群であるための必要十分条件が、非自明な $k$-準恒等式を満たすことであると証明する。
• ゴーサーが有界であっても、非自明な恒等式を満たさないことがある——従来の仮定に反する——反例を提示する。具体的には、有界ゴーサーを持つ群であっても、非アーベル自由部分群を含み、非自明な恒等式を満たさないことがある。
• 結果として、$k$-free-like群は、トランスティヴグラフ上のパーコレーションへの応用により、$\frac{1}{2k-1}$ に任意に近い $p_c$ を達成できることを示す。