[論文レビュー] On K-wise Independent Distributions and Boolean Functions

Derksen, Harm, Ivanov, Peter+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 38被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、各kビットが独立であるk-一様分布が、鋭い閾値特性を示す単調なブール関数をどのように欺くかを調査する。線形計画法の双対性、モーメント問題、誤り訂正符号の道具を用いて、Majority や AND のような関数について、臨界的でない挙動を保つために必要なk（K1）とは対照的に、臨界確率pcにおける挙動を保つために必要なk（K2）は顕著に高く、モーメントに基づく不等式と直交配列構成により、タイトな境界が得られる。

ABSTRACT

We prove several new results about bounded uniform and small-bias distributions. A main message is that, small-bias, even perturbed with noise, does not fool several classes of tests better than bounded uniformity. We prove this for threshold tests, small-space algorithms, and small-depth circuits. In particular, we obtain small-bias distributions that - achieve an optimal lower bound on their statistical distance to any bounded-uniform distribution. This closes a line of research initiated by Alon, Goldreich, and Mansour in 2003, and improves on a result by O'Donnell and Zhao. - have heavier tail mass than the uniform distribution. This answers a question posed by several researchers including Bun and Steinke. - rule out a popular paradigm for constructing pseudorandom generators, originating in a 1989 work by Ajtai and Wigderson. This again answers a question raised by several researchers. For branching programs, our result matches a bound by Forbes and Kelley. Our small-bias distributions above are symmetric. We show that the xor of any two symmetric small-bias distributions fools any bounded function. Hence our examples cannot be extended to the xor of two small-bias distributions, another popular paradigm whose power remains unknown. We also generalize and simplify the proof of a result of Bazzi.

研究の動機と目的

• 鋭い閾値遷移を示す単調なブール関数におけるk-一様分布の影響を理解すること。
• K1（閾値の存在を保つために必要な独立性の水準）とK2（臨界確率pcにおける挙動を保つために必要な独立性の水準）の違いを明確にすること。
• k-一様分布の極値的性質、特にすべてのビットが1である確率の最大値と最小値を特定すること。
• k-一様独立性と多項式近似との関係を確立し、特に「サンドイッチL1ノルム」近似の強い形を示すこと。
• モーメント問題の技術を用いて直交配列のサイズに関する新しい境界を導出し、GF(q)-値をとる設計について既知の結果を改善すること。

提案手法

• 線形計画法の双対性を用い、k-一様独立性の下でのブール関数の欺きの問題を、'サンドイッチL1ノルム'における実多項式による関数の近似問題に帰着させる。
• 古典的モーメント問題の定理（TCMP）を適用し、k-一様独立分布におけるすべてのビットが1である事象の最大・最小確率を境界づける。
• Sを1の個数とするとき、E[S^j] = E[Bin(n,p)^j]（j ≤ k）となるモーメントマッチングを用いて、M(n,k,p) = max_Q Q(すべてのビットが1) の境界を導出する。
• 線形部分空間と誤り訂正符号の構成（例：(u|u+v)構成）を用いてk-一様独立分布を構築し、特定の関数に適した挙動を実現する。
• 符号理論におけるRaoの上限とGilbert-Varshamovの下限を用いて、直交配列のサイズに関する下限と上限を導出する。
• AND、Majority、Tribes、Percolationといった特定の関数を分析し、k-一様独立入力においても、ノイズ安定性がロバストネスを保証しないこと（kがnとともに増大しても）を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界確率pcにおける、任意のk-一様独立分布（周辺確率p = pc）が単調なブール関数fの完全独立の下での挙動をほぼ同一に保つために必要な最小のk（K2）は何か？
• RQ2 K2（臨界確率における挙動を保つために必要なk）は、K1（鋭い閾値の存在を保つために必要なk）と比べてどのように異なるか？
• RQ3 k-一様独立分布におけるすべてのビットが1である確率の最大値M(n,k,p)はタイトに境界づけられるか？ その境界は直交配列構成にどのような含意を持つのか？
• RQ4 一般のk-一様独立分布と線形直交配列に基づくもの（例：GF(q)上での構成）との間に、極値的確率の点で根本的な違いがあるか？
• RQ5 関数のノイズ安定性が、kがnとともに増大する中でもk-一様独立入力下でのロバストネスを示唆するか、その程度はいかほどか？

主な発見

• Majority関数について、K1 = 2（p < 1/2のとき2-一様独立性で十分）であるが、K2 = ω(1)（p = 1/2のときkが無限大に近づく必要がある）であり、|P(Maj=1) − 1/2| ≤ O(1/√k) が成り立つ。
• k-一様独立分布におけるすべてのビットが1である確率の最大値は、M(n,k,p) ≤ pn / P(Bin(n,1−p) ≤ k/2) で境界づけられ、kが偶数のときには M(n,k,p) ≤ 2√k (kp/(2e(1−p)(n−k/2)))^{k/2} というよりタイトな境界も得られる。
• p = 1/q（qは素数のべき）の場合、M(n,k,p)に対する境界は、直交配列のサイズに関する新しい下限を導出し、一部の状況で古典的Raoの下限を改善する。
• A(n,3,1/3)に属する分布で、P(すべて1) = Ω(1/n) となるものが存在するが、すべての線形直交配列に基づく構成ではP(すべて1) = O(1/(n log n)) に留まるため、一般のk-一様独立分布と線形構成との間に根本的なギャップがあることが示された。
• p ≥ 1/2の場合、m(n,k,p) = 0（つまり、すべてのビットが1である確率が正であるk-一様独立分布が存在しない）となる最小のnについて、nc(k,p) ≥ k/(2(1−p))（kが偶数のとき）が成り立ち、Gilbert-Varshamovの下限とTCMPを用いて、上界nc(k,p) ≤ C k / ((1−p) log(1/(1−p))) も導出された。
• 本稿では、ノイズ安定性を持つ関数（例：3つの繰り返しによるMajority）でさえも、k-一様独立入力では完全独立のときと大きく異なる挙動を示す可能性があることが示され、kがnとともに増大しても、安定性がロバストネスを意味するという直観に反する結果となった。