[論文レビュー] On Kaluzhnin - Krasner's embedding of groups

A. Yu. Olshanskii|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Finite Group Theory Research参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、標数 p の有限体上の巡回群と整数環上の巡回群の wreath 積の対象となる $({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{\bf Z}$ および ${\bf Z}{\rm Wr}\,{\bf Z}$ に、局所有限的かつ可換な部分群が $2^{\aleph_0}$ 個存在することを示す。この結果を得るため、Kaluzhnin-Krasner 埋め込みの「節約型」変種を導入し、商群を介して wreath 積のサイズを削減することで、より効率的な埋め込みを実現している。主な貢献は、正規部分群を避ける新しい埋め込み技法を用いて、$({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{\bf Z}$ および ${\bf Z}{\rm Wr}\,{\bf Z}$ に $2^{\aleph_0}$ 個の同型でない局所有限的部分群が存在することを証明したことである。

ABSTRACT

In this note, we consider a 'thrifty' version of Kaluzhnin - Krasner's embedding in wreath products and apply it to extensions by finite groups and to metabelian groups.

研究の動機と目的

• 標数 p の有限体上の巡回群と整数環上の巡回群の wreath 積の対象となる $({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{\bf Z}$ および ${\bf Z}{\rm Wr}\,{\bf Z}$ に、局所有限的かつ可換な部分群が $2^{\aleph_0}$ 個存在することを示す。
• 正規部分群を避ける新しい埋め込み技法を用いて、$({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{\bf Z}$ および ${\bf Z}{\rm Wr}\,{f Z}$ に $2^{\aleph_0}$ 個の同型でない部分群が存在することを証明する。

提案手法

• 標数 p の有限体上の巡回群と整数環上の巡回群の wreath 積の対象となる $({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{f Z}$ および ${\bf Z}{\rm Wr}\,{f Z}$ に、局所有限的かつ可換な部分群が $2^{\aleph_0}$ 個存在することを示す。
• 正規部分群を避ける新しい埋め込み技法を用いて、$({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{f Z}$ および ${\bf Z}{\rm Wr}\,{f Z}$ に $2^{\aleph_0}$ 個の同型でない部分群が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kaluzhnin-Krasner 埋め込みを商群を介してファクタライズすることにより、対象となる wreath 積のサイズを小さくできるか？
• RQ2 洗練された埋め込みにより、有限生成メタアベル群がより小さいアーベル基底を持つ wreath 積へ埋め込めるか？
• RQ3 $({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{\bf Z}$ や ${\bf Z}{\rm Wr}\,{\bf Z}$ のような wreath 積に、非可算個の同型でない部分群が存在するか？
• RQ4 有限体 $\mathbb{F}_p$ および有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の既約表現の構造を用いて、無限大のアクティブ群を持つ wreath 積に非可算個の同型でない部分群を生成できるか？
• RQ5 正規部分群 $A$ と $G$-不変な正規部分群 $C \trianglelefteq A$ を持つ群 $G$ が、$\bar{A} = A/C$ を用いて $\bar{A} {\rm Wr} B$ に埋め込める条件は何か？

主な発見

• 本稿は、$C$ が $G$-不変な非自明な部分群を含まないとき、$\kappa: G \to \bar{A} {\rm Wr} B$ で $\bar{A} = A/C$ となる節約型埋め込みを構成し、これが単射であることを示した。
• 埋め込み $\kappa$ は $\kappa(A) \leq \bar{F}$ および $\kappa(G)\bar{F} = \bar{A} {\rm Wr} B$ を満たし、画像が基底群において完全であることを保証する。
• 任意の有限生成メタアベル群 $G$ に対して、$n,m \geq 1$ が存在し、$G$ が $D_n {\rm Wr} B$ に埋め込めることが示された。ここで $D_n$ は有限アーベル群、$B$ は無限アーベル群である。
• $({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{\bf Z}$ には $2^{\aleph_0}$ 個の同型でない部分群が存在し、それぞれ局所有限的かつ可換である。
• ${\bf Z}{\rm Wr}\,{\bf Z}$ には $2^{\aleph_0}$ 個の可算、局所有限的、同型でない部分群が存在する。
• この構成は、$\mathbb{F}_p$ および $\mathbb{Q}$ 上の $\langle b \rangle$ の非同型な既約表現に依存しており、それらが対応する wreath 積における異なる部分群構造を生じさせる。