[論文レビュー] On Kawamata--Viehweg type vanishing for three dimensional Mori fiber spaces in positive characteristic

Tatsuro Kawakami|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の特性における3次元モーリー・ファイバー空間に対して、Kawamata–Viehweg型の消失定理を確立し、滑らかなファノ3次元多様体、正則なデル・ペzzo表面、およびデル・ペzzoファイバー空間において、ネフでビッグな $ \mathbb{Q} $-カーティエ・ウェイリ・ディバイザー $ D $ に対して $ H^1(Y, \mathbb{Q}_Y(-D)) $ の消失を証明する。これらの結果は、特性0における既知の消失定理を正の特性へ拡張し、先行研究におけるギャップを是正し、$ p \geq 3 $ の未解決ケースを解消する。

ABSTRACT

In this paper, we prove a Kawamata--Viehweg type vanishing theorem for smooth Fano threefolds, canonical del Pezzo surfaces and del Pezzo fibrations in positive characteristic.

研究の動機と目的

• 正の特性における3次元モーリー・ファイバー空間に対して、古典的消失定理が成立しない状況でのKawamata–Viehweg型の消失定理を確立すること。
• 特性 $ p \geq 3 $ における正則なデル・ペzzo表面に対するKawamata–Viehwegの消失定理が成り立つかどうかという未解決問題を、$ p = 2,3 $ での反例が示された後で解消すること。
• 滑らかなデル・ペzzoファイバー空間に対するPatakfalvi–Waldronの消失結果を、孤立した特異点を持つ $ \mathbb{Q} $-ファクター性のある3次元多様体およびネフな $ \mathbb{Q} $-カーティエ・ウェイリ・ディバイザーに一般化すること。
• [29, Remark 1.11] を扱い、$ p $、滑らかさ、アンピュルの追加仮定のもとで $ H^2(Y, \mathcal{O}_Y(-D)) $ の消失を証明すること。
• [33, Theorem 1.4] における $ p = 2,3 $ のギャップを、$ D $ に対する精密な数値的および幾何的条件を課すことによって是正すること。

提案手法

• 極小的収縮を用いて、滑らかなファノ3次元多様体における消失をピカール数1の場合に還元し、Shepherd-Barron の結果を適用する。
• 特異点の解消と正則特異点条件を用いて、正則なデル・ペzzo表面における $ H^1(X, \mathcal{O}_X(-D)) $ を分析する。
• 正の性質とネフ性を用いてコホモロジーを制御するため、数的次元 $ \nu(X,D) > 1 $ の理論を適用する。
• ファイバー写像 $ f: Y \to Z $ の非正則ファイバーを分析し、Patakfalvi–Waldron の枠組みに基づいて $ H^2(Y, \mathcal{O}_Y(-D)) $ の消失を導出する。
• セールの消失定理とフロベニウスによる純無限次元的基底変換を用いて、$ -K_Z $ が数的正であるような多様体 $ Z $ を構成する。
• 接続公式と最小モデルプログラムを用いて、小口径の反カノニカル次数を持つ有理曲線の存在から矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性 $ p \geq 3 $ における正則なデル・ペzzo表面に対して、Kawamata–Viehwegの消失定理は成り立つか？
• RQ2 滑らかでないが $ \mathbb{Q} $-ファクター性のある孤立した特異点を持つ3次元多様体において、正の特性における $ H^1(Y, \mathcal{O}_Y(-D)) $ の消失は、滑らかな場合から拡張可能か？
• RQ3 特性 $ p \geq 11 $ において、滑らかなデル・ペzzoファイバー空間上のアンピュルな $ D $ に対して $ H^2(Y, \mathcal{O}_Y(-D)) = 0 $ は成り立つか？
• RQ4 [33, Theorem 1.4] における $ p = 2,3 $ のギャップは、$ \nu(X,D) > 1 $ などの追加条件を課すことによって埋め合わせ可能か？
• RQ5 滑らかでない場合を含むモーリー・ファイバー空間に対して、正の特性におけるKawamata–Viehweg消失定理の類似定理は存在するか？

主な発見

• 正の特性 $ p > 0 $ における滑らかなファノ3次元多様体 $ X $ に対して、$ \mathcal{O}_X(D) \subset \Omega_X $ を満たすカーティエ・ディバイザー $ D $ が存在するとき、$ \kappa(X,D) = -\infty $ であり、$ D $ がネフで $ \nu(X,D) > 1 $ ならば $ H^1(X, \mathcal{O}_X(-D)) = 0 $ である。
• 正則な射影的曲面 $ X $ が正則特異点を持ち $ \kappa(X) = -\infty $ であり、$ p \neq 2 $ であるとき、任意のネフでビッグな $ \mathbb{Q} $-カーティエ・ウェイリ・ディバイザー $ D $ に対して $ H^1(X, \mathcal{O}_X(-D)) = 0 $ が成り立つ。
• 代数閉体上、滑らかな曲線 $ Z $ への孤立した特異点を持つ射影的3次元多様体 $ Y $ からのモーリー・ファイバー空間 $ f: Y \to Z $ およびネフな $ \mathbb{Q} $-カーティエ・ウェイリ・ディバイザー $ D $ に対して $ \nu(X,D) > 1 $ ならば、$ H^1(Y, \mathcal{O}_Y(-D)) = 0 $ が成り立つ。
• $ p \geq 11 $、$ Y $ が滑らかで、$ D $ がアンピュルであるとき、$ H^2(Y, \mathcal{O}_Y(-D)) = 0 $ が成り立ち、[29, Remark 1.11] を解消する。
• 本稿は、[33, Theorem 1.4] を、$ \nu(X,D) > 1 $ という追加条件を課すことによって是正し、$ p = 2,3 $ に対しても消失が成立することを示した。
• 証明は、フロベニウス基底変換を用いて $ -K_Z $ が数的正であるような多様体 $ Z $ を構成し、接続と有理曲線の解析により、$ H^1 $ や $ H^2 $ が消失しない場合に矛盾を導く。