[論文レビュー] On Kirchhoff type equations with critical Sobolev exponent and Naimen's open problems

Yisheng Huang, Zeng Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有界領域における4次元の臨界Sobolev指数を有するKirchhoff型方程式について、さまざまなパラメータ下での解の存在および非存在を検討する。変分法と摂動技法を用いて、不定型（λ ≥ aλ₁）における解の存在に関する新規結果を確立し、漸近的挙動を同定することで、Naimenが提起したパラメータ依存の解構造およびコンパクト性に関する未解決問題を解消する。

ABSTRACT

We study the following Brezis-Nirenberg problem of Kirchhoff type $$ \left\{\aligned &-(a+b\int_Ω| abla u|^2dx)Δu = λ|u|^{q-2}u + δ|u|^{2}u, &\quad ext{in}\ Ω, \\ &u=0,& ext{on}\ \partialΩ, \endaligned ight. $$ where $Ω\subset \bbr^4$ is a bounded domain with the smooth boundary $\partialΩ$, $2\leq q<4$ and $a$, $b$, $λ$, $δ$ are positive parameters. We obtain some new existence and nonexistence results, depending on the values of the above parameters, which improves some known results. The asymptotical behaviors of the solutions are also considered in this paper.

研究の動機と目的

• 4次元における臨界非線形性を有するKirchhoff型方程式の解の存在および漸近的挙動に関する未解決問題に取り組む。
• 演算子 −aΔ − λ が正定値でない不定型（λ ≥ aλ₁）を分析し、コンパクト性およびPalais-Smale系列の有界性の課題を克服する。
• パラメータ b, δ, λ が解の存在に与える影響を明確にし、特に b𝒮² ≤ δ または b𝒮² < δ の場合を特定する。
• 臨界指数を有する非局所Kirchhoff設定へのBrezis-Nirenberg問題の既知の結果を拡張する。
• マウンテンパス法および固有値解析を用いて、特定のパラメータ領域における複数の解の存在を確立する。

提案手法

• エネルギー汎関数 I_b(u) = (a/2)‖u‖² + (b/4)‖u‖⁴ − (δ/4)‖u‖₄⁴ − (λ/q)‖u‖_q^q を H₀¹(Ω) 上で研究するために変分法を用いる。
• b → 0⁺ の極限を分析するために摂動技法を用い、古典的Brezis-Nirenberg問題に接続する。
• コンパクト埋め込み H₀¹(Ω) ↪ L⁴(Ω) およびSobolev定数を用いて、有界性仮定の下で (PS)_c 条件を検証する。
• 関数 f(t) = I_b(tu) 及びその導関数 f’(t) を分析することで、Palais-Smale系列に対する事前評価を導出する。
• 形 −(a + b‖∇u‖²)Δu = λu の固有値問題を研究し、解構造および基底状態解を特徴付ける。
• 汎関数が強制的かつ下から有界である場合に、Ekelandの変分法を適用して臨界点を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 λ ≥ aλ₁ のとき、特に不定型においてKirchhoff型方程式の解集合はどのように変化するか？
• RQ2 パラメータ b, δ, λ は、臨界指数設定下での解の存在および多重性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 b → 0⁺ または δ → b𝒮² のとき、解の漸近的挙動はどのようなものか？
• RQ4 有界性のもとで汎関数 I_b が (PS)_c 条件を満たすか。また、これによりコンパクト性にどのような影響が生じるか？
• RQ5 δ < b𝒮² または δ = b𝒮² のとき、どのような条件下で方程式が複数の非自明解を有するか？

主な発見

• λ ∈ (aλ₁, aλ₂] のとき、固有値問題 (1.4) は一意の正の基底状態解 u = √[(λ − aλ₁)/(bλ₁²)] φ₁₁ を有する。
• k ≥ 2 に対して λ ∈ (aλₖ, aλₖ₊₁] のとき、方程式 (1.4) は一意の正の基底状態解および u̅ⱼ = √[(λ − aλⱼ)/(bλⱼ²)] ψⱼ (ψⱼ ∈ M(λⱼ)) の形の符号変化解を有する。
• 0 < δ < b𝒮² のとき、汎関数 I_b は強制的かつ下から有界であり、Ekelandの原理により少なくとも1つの非自明解が存在することが保証される。
• 十分に小さい b > 0 に対して、方程式は少なくとも2つの異なる非自明解を有する：1つは I_b の下界から、もう1つはマウンテンパス定理によって得られる。
• 有界な (PS) 系列に対して、すべての c ∈ ℝ で (PS)_c 条件が満たされる。これはコンパクト埋め込みおよびSobolev不等式を用いて確立される。
• b𝒮² < δ の場合、関数 f(t) = I_b(tu) はすべての t > 0 で f’(t) ≥ 0 を満たす。f(1) = 0 かつ f(0) = 0 であると仮定すると、これは矛盾を引き起こすため、特定のパrameter制約下では解が存在しないことを示唆する。