[論文レビュー] On Kolmogorov entropy compactness estimates for scalar conservation laws without uniform convexity

Fabio Ancona, Olivier Glass+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一様に凸でないフラックス関数を含む、スカラー保存則のエントロピー弱解に対する定量的コンパクトネス評価を拡張し、厳密に凸または単一の変曲点を持つフラックスに対応する。フラックス導関数の有界 Variation とエントロピー技術を活用することで、L¹_loc における解集合のコルモゴロフ ε-エントロピーに対する最適な上界と下界を確立し、コンパクトネスのスケーリングが一様凸の場合の 1/ε ではなく f′(ε) に支配されることを示した。

ABSTRACT

In the case of scalar conservation laws $$ u_{t} + f(u)_{x}~=~0,\\qquad t\\geq 0, x\\in\\mathbb{R}, $$ with uniformly strictly convex flux $f$, quantitative compactness estimates - in terms of Kolmogorov entropy in ${\\bf L}^{1}_{loc}$ - were established in~\\cite{DLG,AON1} for sets of entropy weak solutions evaluated at a fixed time $t>0$, whose initial data have a uniformly bounded support and vary in a bounded subset of ${\\bf L}^\\infty$. These estimates reflect the irreversibility features of entropy weak discontinuous solutions of these nonlinear equations. We provide here an extension of such estimates to the case of scalar conservation laws with a smooth flux function $f$ that either is strictly (but not necessarily uniformly) convex or has a single inflection point with a polynomial degeneracy.

研究の動機と目的

• 一様に凸でないが厳密に凸である、あるいは多項式的退化を示す単一の変曲点を有するフラックス関数を有するスカラー保存則に対して、コルモゴロフ ε-エントロピーに基づく定量的コンパクトネス評価を拡張すること。
• 一様凸性の欠如に起因する有界変動（BV）境界の欠如に対処し、古典的な Oleínik 不等式が失敗し、解が有界でない Variation を取る可能性がある状況を扱うこと。
• コンパクトな台を持つ初期データの有界集合に対して、解半群 S_t(𝒞) の ε-エントロピーに対する鋭い上界と下界を確立すること。
• コンパクトネスのスケーリングが、一様凸の場合の 1/ε ではなく f′(ε) に支配されることを示すこと。これは、臨界点近傍におけるフラックスの退化を反映している。
• 一様に厳密に凸なフラックス関数から得られた先行結果を、変曲点における非平坦性が制御された滑らかなフラックス関数の広いクラスへ一般化すること。

提案手法

• f′∘u の正の変動を用いて、f が一様に凸でない場合でも、正の時刻における解の全 Variation を制御すること。
• f の有界性と滑らかさを活用し、{f′∘u | u ∈ 𝒞} の ε′-被覆を構成し、その濃度が ≈ 2^{a/ε′} に比例することを示すこと。
• ε′ = f′(ε) である変換を用いて、ε′-被覆を解集合 S_t(𝒞) の ε-被覆に写像し、被覆サイズが ≈ 2^{(a+1)/ε′} に比例することを示すこと。
• エントロピー数理論とメトリックエントロピー推定値を用いて、L¹_loc における解集合のコルモゴロフ ε-エントロピーを評価すること。
• f′∘u の正の有界変動を根拠に、解集合が BV 空間への埋め込みを可能とし、[6, 8, 13] の結果に依拠すること。
• ショック層の構造とフラックスの凸性/凸性の変化を用いた、区分的定数関数のモデル集合との比較により、下界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様凸フラックス関数を有するスカラー保存則に対して、解半群 S_t のコンパクトネスはどのように振る舞うか？
• RQ2 f が厳密に凸だが一様でない場合、有界初期データ集合の S_t による像のコルモゴロフ ε-エントロピーの最適スケーリングは何か？
• RQ3 多項式的退化を有する単一の変曲点を有するフラックス関数に対しても、エントロピーコンパクトネス評価を拡張可能か？
• RQ4 ε-エントロピーは、フラックスの臨界点近傍における f′(ε) の局所的挙動にどのように依存するか？
• RQ5 ε-エントロピーの上界は最適であり、非一様凸の場合に一致する下界を確立できるか？

主な発見

• f′′(u) ≥ c|u|^{m-1} を u=0 近傍で満たす厳密に凸フラックスに対して、S_t(𝒞) の ε-エントロピーは 1/f′(ε) に比例する定数倍で上下に有界であり、m ≥ 2 のとき f′(ε) ~ ε^{m-1} となる。
• f^{(m+1)}(0) ≠ 0 を満たす単一の変曲点を有する場合、ε-エントロピーは 1/ε^m に比例し、フラックスの退化度を反映する。
• ε-エントロピーの上界は 1/f′(ε) のオーダーであり、一様凸の場合の 1/ε スケーリングを一般化する。
• 下界は上界とオーダーが一致し、非一様凸設定におけるエントロピー評価の最適性を証明する。
• 解半群 S_t のコンパクトネスが、一様凸性ではなく、u=0 近傍における f′(u) の局所的非退化性に支配されることを確認する。
• 解析により、フラックスが一様に凸でなくても、変曲点における非平坦性条件が成立する限り、エントロピーコンパクトネス評価が鋭いまま保たれることを確立する。