[論文レビュー] On Kontsevich's Hochschild cohomology conjecture

Po Hu, Kriz, I.+1 more|ArXiv.org|Sep 22, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Kontsevichの予想である、$Π_k$-代数（little $k$-cube operad 上の代数）のHochschildコホモロジー複体が自然に $Π_{k+1}$-代数構造を持つという予想を証明する。著者らは、この事実を、導来幾何的原理に基づいて確立する：$Π_k$-構造と $Π_1$-構造が可換であるとき、それらから $Π_{k+1}$-構造が得られる。Hochschildコホモロジー対象は、$Π_k$-代数上のモジュールの圏における導来写像対象として実現される。この結果は任意の体または集合上で成り立ち、特性に関する制限がない。$k=1$ の場合がDeligneの元々の予想に一致する。

ABSTRACT

Let an n-algebra mean an algebra over the chain complex of the little n-cubes operad. We give a proof of Kontsevich's conjecture, which states that for a suitable notion of Hochschild cohomology in the category of n-algebras, the Hochschild cohomology complex of an n-algebra is an (n+1)-algebra. This generalizes a conjecture by Deligne for n=1, now proven by several authors.

研究の動機と目的

• Kontsevichが提起したように、little $k$-cube operad 上の代数に対するHochschildコホモロジーを一般化し、Deligneの予想を拡張すること。
• Quillenコホモロジーに基づく既存の手法とは異なり、特性に依存しない自然なHochschildコホモロジーの定義を $Π_k$-代数に対して与えること。
• cofibrant な $Π_k$-代数 $R$ に対して、導来写像対象 $RHom_{(Π_k,R)}(R,R)$ が自然に $Π_{k+1}$-代数構造を持つことの確立。
• R における $Π_k$-構造と $RHom$ におけるYoneda積構造が、Boardman-Vogt $□$-積を通じて $Π_{k+1}$-構造を誘導することの証明。
• ホモトピー圏における $Π_k\Box\u03a0_1 \simeq \u03a0_{k+1}$ の同型が、$Π_{k+1}$-構造をHochschildコホモロジー対象へ移すことを可能にすること。

提案手法

• $(Π_k, R)$-モジュールを定義し、閉じた対称モノイダル圏 $\mathcal{B}$ における単体的対象のホモトピー圏における導来写像対象 $RHom_{(Π_k,R)}(M,N)$ を構成する。
• 単体的集合における与えられたoperad $\mathcal{C}$ の上にファイバーするoperadの概念を導入し、特に「特別な」ファイバー化operadに注目する。
• Boardman-Vogt $□$-積を用いて $\u03a0_k\Box\u03a0_1$ と $\u03a0_{k+1}$ を関連づけ、単体的バージョンのDunnの定理（operadic productに関する）を活用する。
• まず $\u03a0_k$-上のラックス代数構造を構築し、2段階の導来プロセスを通じて弱く同値なoperad $\overline{\u03a0}_k$ への厳密な代数構造に変換する。
• ラックス代数に縦方向のカテゴリカル構造を導入し、$\overline{\u03a0}_k\Box\u03a0_1$-代数を構成する。この構造が $\u03a0_{k+1}$-代数と同値であることが示される。
• 一般論を主な例に適用する：$\u03a0_k$-代数のHochschildコホモロジー対象が、可換な $\u03a0_k$-構造と $\u03a0_1$-構造のおかげで $\u03a0_{k+1}$-代数構造を誘導することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kontsevichが予想したように、$\u03a0_k$-代数のHochschildコホモロジー複体は自然に $\u03a0_{k+1}$-代数構造を持つのか？
• RQ2 特性に依存しない自然なHochschildコホモロジーの定義を $\u03a0_k$-代数に対して与えることは可能か？Quillenコホモロジーや体の特性に関する仮定に依存しない。
• RQ3 R における $\u03a0_k$-代数構造と $RHom(R,R)$ におけるYoneda積構造の相互作用が、導来写像対象に $\u03a0_{k+1}$-代数構造をどのように誘導するか？
• RQ4 ホモトピー圏におけるBoardman-Vogt $□$-積 $\u03a0_k\Box\u03a0_1$ は $\u03a0_{k+1}$ と同型であるか？
• RQ5 little cubesの配置空間の導来幾何を用いて、形式的性やKoszul双対性に依存せずに、Hochschildコホモロジーに自然な $\u03a0_{k+1}$-代数構造を構成できるか？

主な発見

• cofibrant な $\u03a0_k$-代数 $R$ に対して、導来写像対象 $RHom_{(\u03a0_k,R)}(R,R)$ は自然に $\u03a0_{k+1}$-代数構造を持つ。
• R における $\u03a0_k$-構造とYoneda積による $\u03a0_1$-構造が、Boardman-Vogt $□$-積を通じて $\u03a0_{k+1}$-構造を共同で誘導する。
• ホモトピー圏における同型 $\u03a0_k\Box\u03a0_1 \simeq \u03a0_{k+1}$ が成り立ち、これにより $\u03a0_{k+1}$-構造の移行が可能である。
• この構成は任意の体または集合上で有効であり、特性ゼロや形式的性の仮定を必要としない。
• 証明はDeligneの元々の予想（$k=1$ の場合）を一般化しており、特殊な場合として含んでいる。ベースリングや体に制限がない。
• 著者らは、特性 $p$ におけるQuillenコホモロジーの制限を避ける、$\u03a0_k$-代数のHochschildコホモロジーの自然で内因的な定義を提供する。