[論文レビュー] On Kurepa's problems in number Theory

Aleksandar Ivić, Žarko Mijajlović|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ドル・クレパが提起した未解決の数論的問題を調査し、奇素数 p が 0! から (p−1)! までの階乗の和を割り切らないという左階乗予想に焦点を当て、有限体における同値な表現を提示する。素数の分布、双子素数、等差数列との関連を確立し、n = 1,000,000 まで計算的に予想を検証するとともに、より広範な予想と関連付ける。

ABSTRACT

We discuss some problems in number theory posed by Djuro Kurepa (1907-1993), including his classical left factorial hypothesis that an odd prime $p$ does not divide $0! + 1! + ... + (p-1)!$.

研究の動機と目的

• ドル・クレパが提示したあまり知られていない数論的問題、特に左階乗予想をレビューおよび分析すること。
• 特に二項係数と階乗を含む和の観点から、有限体 GF(p) における左階乗予想の同値な表現を確立すること。
• クレパの第二および第三の問題に触発された、素数の平方とその隣接素数を含む数列の符号挙動を調査すること。
• クレパの問題に関連する算術級数における素数三つ組と一元集合の無限性を調査すること。
• クレパの予想を、双子素数予想やバトラー＝ホーン予想といった主要な未解決問題と結びつけること。

提案手法

• 左階乗予想をすべての n > 2 に対して !n ≢ 0 (mod n) と定式化し、すべての奇素数 p に対して (p, !p) = 1 である条件と同値であることを証明した。
• (-1)^k / k! と二項係数を含む恒等式を用いて GF(p) における同値な記述を導出し、予想が成り立つのは、ある特定の和が p を法として 0 でない場合に限ることを示した。
• スラヴィッチ、ワグスタッ、ミヤイロビッチ、ゴジッチによる計算的検証を用い、すべての n < 1,000,000 に対して予想が成立することを確認した。
• ベルトランの補題と素数定理を応用して、素数列の漸近的挙動を分析し、p_n² と以前の素数の和を含む不等式を導出した。
• s_n = p_n² − p_{n−1} − p_{n+1} の符号が素数定理および既知の素数ギャップの上限と関連していることを示した。
• π_n = p_n² − p_{n−1}p_{n+1} の符号が、良い素数の無限性と双子素数の存在と関連しており、ポメランスの良い素数が無限に存在することの結果を用いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての奇素数 p に対して、0! から (p−1)! までの階乗の和が p で割り切れないことは真か？
• RQ2 左階乗予想は、有限体 GF(p) における非ゼロ和の観点から同値に再定式化可能か？
• RQ3 p_n² > p_{n−1} + p_{n+1} を満たす素数 p が無限に存在するか？
• RQ4 双子素数予想が成り立つならば、π_n = p_n² − p_{n−1}p_{n+1} が無限に多くの n に対して負になるか？
• RQ5 P(n) が一元集合（つまり、x−2n、x、x+2n がすべて素数であるような x がちょうど一つ存在する）であるような n ≡ 1 (mod 3) が無限に存在するか？

主な発見

• 左階乗予想は、すべての奇素数 p に対して ∑_{k=0}^{p−1} (−1)^k (k+1)(k+2)⋯(p−1) ≢ 0 (mod p) であるという条件と同値である。
• 予想はすべての n < 1,000,000 に対して計算的に検証されており、ゴジッチが n = 10^6 まで確認した。
• 左階乗予想は、すべての素数 p に対して ∑_{k=0}^{p−1} binom{p−1}{k} (k+1)⋯(p−1) ≢ 0 (mod p) であるという主張と同値である。
• ベルトランの補題を用いて、すべての p_n ≥ 5 に対して s_n = p_n² − p_{n−1} − p_{n+1} が正であることが示された。
• 双子素数予想が成り立つならば、不等式 p_n² − p_{n−1}p_{n+1} ≤ −2p_{n−1} + 4 < 0 のため、π_n = p_n² − p_{n−1}p_{n+1} が無限に多くの n に対して負である。
• バトラー＝ホーン予想から、P(n) が一元集合であるような n ≡ 1 (mod 3) が無限に存在することが示唆される。