[論文レビュー] On $L^{1}$-Convergence of Fourier Series Under $MVBV$ Condition

Dan Sheng Yu, Ping Zhou+1 more|ArXiv.org|Apr 14, 2007

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素数値 $2\pi$-周期関数のフーリエ係数に平均値有界 Variation (MVBV) 条件を課したもとで、フーリエ級数の $L^1$ 収束を確立する。古典的結果を一般化し、単調性の代わりに MVBV 条件を用いる。$\|f - S_n(f)\|_L \to 0$ が成り立つのは、$\hat{f}(n)\log|n| \to 0$ であるための必要十分条件であり、複素数設定におけるこの収束に関して、MVBV 条件は可能な限り弱い条件であることが示された。

ABSTRACT

Let $f\in L_{2π}$ be a real-valued even function with its Fourier series $ \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx,$ and let $S_{n}(f,x), n\geq 1,$ be the $n$-th partial sum of the Fourier series. It is well-known that if the nonnegative sequence $\{a_{n}\}$ is decreasing and $\lim\limits_{n o \infty}a_{n}=0$, then $$ \lim\limits_{n o \infty}\Vert f-S_{n}(f)\Vert_{L}=0 {if and only if} \lim\limits_{n o \infty}a_{n}\log n=0. $$ We weaken the monotone condition in this classical result to the so-called mean value bounded variation ($MVBV$) condition. The generalization of the above classical result in real-valued function space is presented as a special case of the main result in this paper which gives the $L^{1}$% -convergence of a function $f\in L_{2π}$ in complex space. We also give results on $L^{1}$-approximation of a function $f\in L_{2π}$ under the $% MVBV$ condition.

研究の動機と目的

• フーリエ係数の単調性条件を弱めることで、フーリエ級数の $L^1$ 収束に関する古典的結果を一般化すること。
• 複素数値 $2\pi$-周期関数のフーリエ係数に MVBV 条件を課したもとで、フーリエ級数の $L^1$ 収束を確立すること。
• 偶数実数値関数における $L^1$ 収束結果において、単調性を置き換える条件として、MVBV 条件が可能な限り弱いかどうかを示すこと。
• MVBV 条件の下で $L^1$ 近似速度を導出し、収束性と最良近似およびモジュラス連続性を関連付けること。

提案手法

• 複素数列に対して、二進区間上での平均値に関する有界変動性を要請する MVBVS（平均値有界変動列）条件を導入する。
• フーリエ係数の振動を制御するための鍵となる条件 $\lim_{\mu \to 1^+} \limsup_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{[\mu n]} |\Delta \hat{f}(k) - \Delta \hat{f}(-k)| \log k = 0$ を用いる。
• 補題 1 を用いて、二進区間上の最大値を用いて差分の部分和を評価し、MVBV 性質を活用する。
• 補題 2 を用いて、$f - S_n(f)$ の $L^1$ ノルムを係数の大きさの調和級数と関連付ける。
• 二進分解とノルム推定を用いて、$L^1$ 収束と $\hat{f}(n)\log|n| \to 0$ の必要十分性を示し、等価性を確立する。
• 近似理論を一般化し、$\psi_n \sim \psi_{2n}$ で単調減少であるとき、$\|f - S_n(f)\|_L = O(\psi_n)$ が成り立つのは、$E_n(f)_L = O(\psi_n)$ および $\hat{f}(n)\log|n| = O(\psi_{|n|})$ が成り立つとき、かつそのときに限ることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数値 $2\pi$-周期関数に対して、差 $f - S_n(f)$ の $L^1$ ノルムが 0 に収束するためのフーリエ係数の条件は何か？
• RQ2 $L^1$ 収束結果における古典的単調性条件をより一般化した条件に弱めることができるか。もし可能であれば、その最も弱い条件は何か？
• RQ3 MVBV 条件は、次数 $n$ の三角多項式による $f$ の $L^1$ 近似速度とどのように関係するか？
• RQ4 MVBV 条件の下で、フーリエ係数の減衰速度に関して、$L^1$ 収束の正確な同値条件は何か？

主な発見

• フーリエ係数 $\{\hat{f}(n)\}_{n=0}^\infty$ に MVBV 条件と差分 $\Delta \hat{f}(k) - \Delta \hat{f}(-k)$ に関する補助条件を課したもとで、$\|f - S_n(f)\|_L \to 0$ が成り立つのは、$\hat{f}(n)\log|n| \to 0$ であるための必要十分条件である。
• MVBV 条件は、$L^1$ 収束における単調性の一般化として、可能な限り弱いかつ必要十分な条件であると提唱される。これは、正弦級数の一致収束におけるそれと類似した役割を果たす。
• 実数値偶関数の場合、結果は古典的同値性に還元される：$\|f - S_n(f)\|_L \to 0$ であるのは、$\{a_n\}$ が実数 MVBV 条件を満たすとき、かつそのときに限る。
• $L^1$ 近似速度は、$\|f - S_n(f)\|_L = O(\psi_n)$ が成り立つのは、最良近似 $E_n(f)_L = O(\psi_n)$ および $\hat{f}(n)\log|n| = O(\psi_{|n|})$ が成り立つとき、かつそのときに限る。
• 系 3 は、ジャクソン型近似定理を拡張し、$\|f - S_n(f)\|_L = O\left(\frac{1}{(n+1)^r}\omega(f^{(r)}, \frac{1}{n+1})_L\right)$ が成り立つのは、$\hat{f}(n)\log|n| = O\left(\frac{1}{(n+1)^r}\omega(f^{(r)}, \frac{1}{n+1})_L\right)$ が成り立つとき、かつそのときに限ることを示している。
• 条件 $\sum_{k=n}^{[\mu n]} |\Delta \hat{f}(k) - \Delta \hat{f}(-k)| \log k \to 0$ が $\mu \to 1^+$ のとき成り立つことは十分であり、定理 1 の完全な条件に置き換えられる。