[論文レビュー] On $L^1$-estimates for probability solutions to Fokker-Planck-Kolmogorov equations

В. И. Богачев, S. N. Popova+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$L^1$-ドリフトに対して、Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の確率密度解が、$W^{1,1}$ に属するとは限らないことを示すことにより、長年の未解決問題を解決した。さらに、このような密度が特定の分数階ソボレフ空間に属することを確立し、古典的 $W^{1,1}$-境界の失敗にもかかわらず、正の $L^1$-型正則性推定式が成立することを示した。

ABSTRACT

We prove two new results connected with elliptic Fokker-Planck-Kolmogorov equations with drifts integrable with respect to solutions. The first result answers negatively a long-standing question and shows that a density of a probability measure satisfying the Fokker-Planck-Kolmogorov equation with a drift integrable with respect to this density can fail to belong to the Sobolev class~$W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$. There is also a version of this result for densities with respect to Gaussian measures. The second new result gives some positive information about properties of such solutions: the solution density is proved to belong to certain fractional Sobolev classes.

研究の動機と目的

• $L^1$-ドリフトを持つ Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の確率解が $W^{1,1}$ に属するかどうかという長年の未解決問題を解決すること。
• ドリフトの最小限の可積分性仮定の下で、Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の密度の正則性を調査すること。
• このような密度が分数階ソボレフ空間に属することを示すことにより、正の $L^1$-型推定式を確立すること。
• 第二順階楕円型作用素の $p=1$ の場合における古典的 $L^p$-推定式の限界を、Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の文脈で明確にすること。

提案手法

• $ρ_n$ と $b_n$ が滑らかで、$‖\nabla \varrho_n\u2016_{L^1} \geq n \u2016b_n\u2016_{L^1(\varrho_n)}$ を満たす $× \mathbb{R}^2$ 上の明示的反例を構成することで、$W^{1,1}$-正則性の失敗を示した。
• Ornsteinの例にインspしたスケーリング論法に基づく、閉グラフ定理を用いて、$\|f\|_{\infty}$, $\|\nabla f\|_{\infty}$, $\|\Delta f\|_1$ の関数として $\partial_x^2 f$ に対する一様 $L^1$-境界が存在しないことを示した。
• 分布的微分と関数解析的道具を用いて、弱ソボレフ空間および分数階ソボレフ空間における解の正則性を分析した。
• $L^2$-ドリフトの可積分性のもとで $\nabla \varrho / \varrho \in L^2(\varrho dx)$ であることを示し、$L^1$-ドリフトの場合にまでこれを分数階ソボレフ正則性へ拡張した。
• 分布の意味での Fokker-Planck-Kolmogorov方程式 $\Delta \varrho - \mathrm{div}(\varrho b) = 0$ を用いて、$\varrho$ の勾配に関する推定式を導出した。
• $L^1$-ドリフトでは $\varrho \in W^{1,1}_{\text{loc}}$ が成立しないが、コンパクト性および分布的推定式を用いることで、$\varrho$ が分数階ソボレフ正則性を獲得することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\int |b| \, d\mu < \infty$ を満たすドリフト $b$ を持つ Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の確率密度解 $\varrho$ が、$W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$ に属さないことがあるか？
• RQ2 $\|b\|_{L^1(\varrho dx)}$ の関数として、$\|\nabla \varrho\|_{L^1}$ に対する一様 $L^1$-推定式が存在するか？
• RQ3 $W^{1,1}$-境界の失敗にもかかわらず、$L^1$-ドリフトを持つ解が、弱的または分数階ソボレフ正則性を備えているか？
• RQ4 第二順階楕円型作用素に対する $L^1$-推定式の失敗が、確率測度を伴う Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の文脈で実現可能か？
• RQ5 $L^2$-ケースに類似した、$\nabla \varrho / \varrho$ の次元不変の $L^1$-型正則性推定式は存在するか？

主な発見

• $ρ$ を $× \mathbb{R}^2$ 上の滑らかな確率密度、$b$ を滑らかなドリフトとする。$|b|\varrho \in L^1(\mathbb{R}^2)$ であるが、$|\nabla \varrho| \notin L^1(\mathbb{R}^2)$ である例が存在する。したがって $\varrho \notin W^{1,1}(\mathbb{R}^2)$ であり、長年の未解決問題に否定的解答を与えた。
• 任意の $n$ に対して、$× \mathbb{R}^2$ 上の滑らかな確率密度 $\varrho_n$ とドリフト $b_n$ の列が存在し、$\|\nabla \varrho_n\|_{L^1} \geq n \|b_n\|_{L^1(\varrho_n)}$ を満たす。これは勾配に対する $L^1$-境界が存在しないことを示している。
• $L^1$-ドリフトを持つ Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の解密度 $\varrho$ は、特定の分数階ソボレフ空間に属する。これは $W^{1,1}$-失敗にもかかわらず、部分的な正則性が存在することを示している。
• 第二順階楕円型作用素に対する $L^1$-推定式の失敗は、Fokker-Planck-Kolmogorov設定へ拡張可能であり、一様 $L^1$-境界が成立しない第二導関数に関する反例によって裏付けられた。
• 古典的 $L^2$-推定式 $\|\nabla \varrho / \varrho\|_{L^2(\varrho dx)} \leq \|b\|_{L^2(\varrho dx)}$ は $p=1$ に拡張できない。なぜなら、このような $L^1$-境界は存在しないからである。
• 閉グラフ定理と Ornstein の例に基づくスケーリング論法を用いて、$\|f\|_{\infty}$, $\|\nabla f\|_{\infty}$, $\|\Delta f\|_1$ の関数として $\partial_x^2 f$ に対する $L^1$-推定式が存在しないことを証明した。この結果は、主な反例の根拠となっている。