[論文レビュー] On $L_2$-approximation in Hilbert spaces using function values

David Krieg, Mario Ullrich|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Mathematical Approximation and Integration参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、関数値のみを用いたヒルバート空間における$L_2$近似の改良された上限を確立し、$n$番目の最小の最悪誤差$e_n$が$e_n \lesssim a_{n/\log n}$を満たすことを示している。ここで$a_n$は任意の線形情報を使った場合の誤差である。支配的混合滑らかさを持つソボレフ空間$H^s_{\text{mix}}(\mathbb{T}^d)$および$s > 1/2$の場合、$e_n \lesssim n^{-s} \log^{sd}(n)$が得られ、$d > 2s + 1$のとき既存の境界を改善する。この結果は、特定の滑らかさと次元条件の下で関数値が近似に与える強力な効果を示している。

ABSTRACT

We study $L_2$-approximation of functions from Hilbert spaces $H$ in which function evaluation is a continuous linear functional, using function values as information. Under certain assumptions on $H$, we prove that the $n$-th minimal worst-case error $e_n$ satisfies \[ e_n \,\lesssim\, a_{n/\log(n)}, \] where $a_n$ is the $n$-th minimal worst-case error for algorithms using arbitrary linear information, i.e., the $n$-th approximation number. Our result applies, in particular, to Sobolev spaces with dominating mixed smoothness $H=H^s_{ m mix}(\mathbb{T}^d)$ with $s>1/2$ and we obtain \[ e_n \,\lesssim\, n^{-s} \log^{sd}(n). \] This improves upon previous bounds whenever $d>2s+1$.

研究の動機と目的

• 関数値の評価が連続線形汎関数であるヒルバート空間における$L_2$近似を分析すること。
• 任意の線形情報とは対照的に、関数値のみを情報として用いた場合の最小最悪誤差を特定すること。
• 特に高次元において、支配的混合滑らかさを持つソボレフ空間における近似の改良された誤差境界を確立すること。
• 関数値を用いた近似誤差と任意の線形情報を使った場合の誤差との関係を明確にすること。

提案手法

• 関数値の評価がヒルバート空間$H$で連続線形汎関数であるという仮定に基づき、再生核の存在を保証する。
• 関数値情報における$n$番目の最小最悪誤差$e_n$を、任意の線形情報に対応する$n$番目の近似数$a_n$と比較する。
• 主要な技術的ステップとして、$e_n$の減衰速度を核の性質と固有値分布の性質を活用して$a_{n/\log n}$の減衰速度に関連付ける。
• 支配的混合滑らかさを持つ空間、特に$H^s_{\text{mix}}(\mathbb{T}^d)$に対して、既知の固有値漸近展開を活用してこの手法を適用する。
• 誤差の境界を近似数$a_n$の観点から関数値アルゴリズムの誤差に束縛するために、補間とエントロピー型の議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間において、関数値のみを用いた$L_2$近似の最悪誤差は、任意の線形情報を使った場合と比べてどのように異なるか？
• RQ2 関数値のみが利用可能な場合、支配的混合滑らかさを持つソボレフ空間における$L_2$近似の最適収束速度は何か？
• RQ3 どの次元および滑らかさの範囲で、関数値を用いることで、以前の結果よりも厳密に良い誤差境界が得られるか？
• RQ4 関数値を用いた$n$番目の最小誤差の減衰速度は、近似数$a_n$の観点から束縛できるか？

主な発見

• 関数値のみを用いた$L_2$近似における$n$番目の最小最悪誤差$e_n$は、$e_n \lesssim a_{n/\log n}$を満たす。ここで$a_n$は$n$番目の近似数である。
• $s > 1/2$のソボレフ空間$H^s_{\text{mix}}(\mathbb{T}^d)$に対して、誤差境界は$e_n \lesssim n^{-s} \log^{sd}(n)$に簡略化される。
• この境界は、次元$d$が$2s + 1$を上回る場合、以前の結果を改善する。これは高次元設定において顕著な向上を示している。
• この改善は、支配的混合滑らかさを持つ関数の構造を効率的に捉えるために関数値が有効に利用されていることに起因する。