[論文レビュー] On L-embeddings and double covers of tori over local fields

Tasho Kaletha|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所体 $F$ 上のトーラス $T$ の $F$-有理点の正規二重被覆 $T(F)_{\pm}$ を、自然な $L$-群 ${}^{L}T_{\pm}$ と併せて導入し、${}^{L}T_{\pm}$ に値をとる $L$-パラメータと $T(F)_{\pm}$ の真性特徴標の間の自然な全単射を確立する。さらに、再帰的群 $G$ の最大トーラス $T$ に対して、${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$ なる正規 $L$-埋め込みを構成し、Langlands パラメータの分解と、真性特徴標と特徴標公式に基づく超臨界局所 Langlands 対応の予想的特徴付けを可能にする。

ABSTRACT

To a torus T over a local field F and a subset of its character module subject to certain properties, we associate a canonical double cover of the topological group T(F). We further associate an L-group to this double cover and establish a natural bijection between L-parameters valued in this L-group and genuine characters of the double cover. When T is a maximal torus of a connected reductive group G, we show that there is a canonical L-embedding from the L-group of the double cover of T to the L-group of G. This leads to a canonical factorization of Langlands parameters. We associate to a genuine character of the double cover subject to certain conditions a Harish-Chandra character formula and use it to give a conjectural characterization of the supercuspidal local Langlands correspondence for G, subject to a certain condition on p. This generalizes previous work of Adams and Vogan F=R, and reinterprets computations of Langlands and Shelstad.

研究の動機と目的

• 局所体 $F$ 上のトーラス $T$ の $F$-有理点の正規二重被覆 $T(F)_{\pm}$ を、$\chi$-データから導かれる追加構造を備えて構成すること。
• この二重被覆に付随する $L$-群 ${}^{L}T_{\pm}$ を定義し、Weil 形式の $L$-群を一般化し、$\rho$-被覆の枠組みを拡張すること。
• ${}^{L}T_{\pm}$ に値をとる $L$-パラメータと $T(F)_{\pm}$ の真性特徴標の間の自然な全単射を確立し、表現論的データと Langlands パラメータを結びつけること。
• $T$ が再帰的群 $G$ の最大トーラスであるとき、正規 $L$-埋め込み ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$ を構成し、Langlands パラメータの分解を可能にすること。
• $T(F)_{\pm}$ の真性特徴標に関連する Harish-Chandra 特徴標公式を用いて、$G$ の超臨界局所 Langlands 対応の予想的特徴付けを提示すること。

提案手法

• 二重被覆 $T(F)_{\pm}$ は、$\Sigma$-不変部分集合 $R \subset X^*(T)$ に付随する誘導された一様次元非分岐トーラス $J_O$ を用いた正規準同型を介した引き戻しとして構成される。
• ${}^{L}T_{\pm}$ は、$\widehat{S} \leftarrow \prod \widehat{J}_O \to {}^{L}(\prod J_O)_{\pm}$ の押し出しとして定義され、ここに後者は $\chi$-データから生じる Tits 2-コサイクルによってねじれられる。
• $T(F)_{\pm}$ の真性特徴標 $\chi_S$ の $L$-パラメータは、$J_\alpha(F)_{\pm}$ 上の $\chi_\alpha$ の $L$-パラメータの積の、1次シャピロ写像による像として得られる。
• この構成は、$\chi$-データと整合するように、$L$-パラメータを $C^1(W_{E_\pm}, \mathbb{C}^\times_{(-1)})$ のコチェーンと関連付けるシャピロ同型を用いる。微分は正規 2-コサイクル $z$ に等しく、$\chi$-データと整合する。
• $T$ が再帰的群 $G$ の最大トーラスであるとき、$\chi$-データと $L$-群の Weil 形式の構造を用いて、${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$ なる正規 $L$-埋め込みが自然に存在することが示される。
• $T(F)_{\pm}$ の各真性特徴標に対して、Harish-Chandra 特徴標公式が関連付けられ、この公式を用いて超臨界 Langlands パラメータの特徴付けを予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所体 $F$ 上のトーラス $T$ の $F$-有理点の正規二重被覆 $T(F)_{\pm}$ を、$\chi$-データと整合する $L$-群 ${}^{L}T_{\pm}$ を備えて構成できるか？
• RQ2 ${}^{L}T_{\pm}$ に値をとる $L$-パラメータと $T(F)_{\pm}$ の真性特徴標の間に自然な全単射が存在するか？
• RQ3 $T$ が再帰的群 $G$ の最大トーラスであるとき、正規 $L$-埋め込み ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$ が存在するか？
• RQ4 超臨界表現の局所 Langlands 対応は、$T(F)_{\pm}$ の真性特徴標に関連する Harish-Chandra 特徴標公式を用いて特徴付けられるか？
• RQ5 ${}^{L}T_{\pm}$ は、実数の場合の Adams-Vogan の $\rho_i$-被覆と $E$-群構成とどのように関係するか？また、$p$-進体へ一般化する際、どのように拡張されるか？

主な発見

• 任意の局所体 $F$ 上のトーラス $T$ に対して、$\chi$-データと $J_O$ に沿った誘導された一様次元非分岐トーラスへの分解を用いて、正規二重被覆 $T(F)_{\pm}$ が構成される。
• ${}^{L}T_{\pm}$ は、$\widehat{S} \leftarrow \prod \widehat{J}_O \to {}^{L}(\prod J_O)_{\pm}$ の押し出しとして定義され、$\chi$-データから生じる Tits 2-コサイクルによってねじれる。
• ${}^{L}T_{\pm}$ に値をとる $L$-パラメータと $T(F)_{\pm}$ の真性特徴標の間に自然な全単射が存在し、1次シャピロ同型を用いて実現される。
• $T$ が再帰的群 $G$ の最大トーラスであるとき、正規 $L$-埋め込み ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$ が存在し、Langlands パラメータの分解を可能にする。
• $T(F)_{\pm}$ の各真性特徴標に対して、Harish-Chandra 特徴標公式が関連付けられ、この公式が残渣的特徴 $p$ に関する条件の下で、$G$ の超臨界局所 Langlands 対応を特徴付けると予想される。
• この構成は、$p$-進体への Adams-Vogan の $\rho_i$-被覆を一般化し、$L$-群と真性特徴標を用いた局所 Langlands 対応の均一な枠組みを提供する。