[論文レビュー] On l-independence for the etale cohomology of rigid spaces over local fields

Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所体上の剛体空間のコンパクトな台付きℓ進コホモロジーにおけるワイエル群作用のトレースの交代和がℓに依存しないことを、2つの条件下で確立する。すなわち、剛体空間が底層体上に滑らかである場合、または底層体の標数が0である場合である。証明は、Saitoの対応に関する手法の修正、 Fujiwaraのトレース公式、Huberの有限性定理を組み合わせ、近傍サイクルコホモロジーとde Jongの変形を鍵として用いることで、一般の場合におけるℓ-独立性を達成する。

ABSTRACT

We investigate the action of the Weil group on the compactly supported l-adic etale cohomology groups of rigid spaces over a local field. We prove that the alternating sum of the traces of the action is an integer and is independent of l when either the rigid space is smooth or the characteristic of the base field is equal to 0. We modify the argument of T. Saito to prove a result on l-independence for nearby cycle cohomology, which leads to our l-independence result for smooth rigid spaces. In the general case, we use the finiteness theorem of R. Huber, which requires the restriction on the characteristic of the base field.

研究の動機と目的

• 局所体上の剛体空間のコンパクトな台付きℓ進コホモロジーにおけるワイエル群作用のトレースの交代和がℓに依存しないことを確立すること。
• 既知のスキームにおけるℓ-独立性の結果を、剛体解析的空間の設定に拡張すること。
• 剛体空間が滑らかであるか、または底層体の標数が0である場合には、トレースがℓに依存しない整数であることを証明すること。
• 非コンパクトな剛体空間を取り扱うための部分的台付きコホモロジーと近傍サイクルを用いた道具立てを構築すること。
• 近傍サイクルコホモロジーのためのスペクトル系列の技法を一般化し、コンパクト性の欠如下でもℓ-独立性を支えること。

提案手法

• Saitoのワイエル元の合成作用および対応に関する手法を修正し、非コンパクトな剛体空間に対応可能にする。
• Fujiwaraのトレース公式を適用し、コホモロジー上の対応作用におけるトレースのℓ-独立性を導出する。
• 部分的台付きコホモロジーを導入し、サイクル写像と局所化されたチャーン類を用いて、非コンパクト空間上のコホモロジー作用を記述する。
• 近傍サイクルコホモロジーに収束するスペクトル系列を構成し、SaitoとRapoport-Zinkの重みスペクトル系列を一般化する。
• de Jongの変形を用いて、一般の場合を良い還元の状況に還元し、帰納法によってℓ-独立性を達成する。
• 標数0におけるHuberの有限性定理を用い、次元に関する帰納法を支える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所体上の剛体空間のコンパクトな台付きℓ進コホモロジーにおけるワイエル群作用のトレースの交代和は、ℓに依存しないか？
• RQ2 滑らかでない、またはコンパクトでない剛体空間に対してもℓ-独立性を確立できるか？
• RQ3 コンパクト性や滑らかさが欠如する状況下で、ワイエル群のコホモロジー上での作用はどのように振る舞うか？
• RQ4 近傍サイクルのためのスペクトル系列を、剛体解析幾何学におけるℓ-独立性の証明にどの程度まで応用できるか？
• RQ5 変形の手法を、剛体コホモロジーの文脈でℓ-独立性を証明するために適合可能か？

主な発見

• 剛体空間が底層体上に滑らかである場合、コンパクトな台付きℓ進コホモロジーにおけるワイエル群作用のトレースの交代和は、ℓに依存しない整数である。
• 底層体の標数が0である場合でさえ、剛体空間が滑らかでなくても、同じℓ-独立性が成り立つ。
• 証明は、スペクトル系列とde Jongの変形を用いて確立された近傍サイクルコホモロジーのℓ-独立性に依存する。
• 部分的台付きコホモロジーと洗練されたサイクル写像により、非コンパクト空間への対応作用の拡張が可能になる。
• この結果は、Ochiaiのスキームにおけるℓ-独立性の結果を剛体解析的設定に一般化する。
• Huberの標数0における有限性定理を用いた次元に関する帰納法により、トレースが整数的かつℓに依存しないことが示された。