[論文レビュー] On L_p- theory for stochastic parabolic integro-differential equations

R. Mikulevíčius, H. Pragarauskas|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、空間変数に依存しない係数をもつモデルを用いて、分数次ソボレフ空間における確率的放物型積分微分方程式の解の存在および一意性を確立する。主な貢献は、ジャンプ過程を伴う非線形フィルタリング問題に適用可能な、このような方程式の $ L_p $-理論フレームワークの構築であり、近似および極限の議論により証明された、最良の正則性推定を伴うものである。

ABSTRACT

The existence and uniqueness in fractional Sobolev spaces of the Cauchy problem to a stochastic parabolic integro-differential equation is investigated. A model problem with coefficients independent of space variable is considered. The equation arises, for example, in a filtering problem with a jump signal and jump observation process.

研究の動機と目的

• 時間に依存する係数をもつジャンプノイズを伴う確率的放物型積分微分方程式の $ L_p $-理論を構築すること。
• 一般の Lévy ノイズを伴う初期値問題に対して、分数次ソボレフ空間における解の存在および一意性を確立すること。
• ジャンプ信号および観測を伴う非線形フィルタリングにおける Zakai 方程式に対する厳密な解析的枠組みを提供すること。
• 非局所作用素および複数のノイズ源を伴う、決定的放物型理論を確率的設定へと拡張すること。

提案手法

• 空間と時間の両方における Lévy ノイズおよび拡散成分をもつ、独立な Lévy プロセスによって駆動される確率的放物型積分微分方程式を定式化する。
• 解析を単純化し、核心的な確率的および非局所的構造を明確にするために、空間変数に依存しない係数をもつモデル方程式を用いる。
• 滑らかな関数を用いた近似技術を $ \frak{D}_p(E) $、$ \frak{D}_{2,p}(E) $、および関連するBesov型空間に適用し、不規則な入力データを扱う。
• 補正付きポアソン確率測度を表現するためのマルティングール測度 $ q^{(\beta)} $ および $ \eta $ を用い、経路の正則性を導出する。
• $ \mathbb{H}_p^{\beta} $-型空間における事前推定を導出し、近似列における極限に移行するためのコンパクト性および収束の議論を用いる。
• Banach空間における確率的発展方程式の理論に依拠し、非局所作用素に対する伊藤の公式および最大正則性推定を組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプノイズを伴う確率的放物型積分微分方程式が、分数次ソボレフ空間において一意な解をもつための条件は何か？
• RQ2 解の正則性は、初期データおよび係数の可積分性および滑らかさにどのように依存するか？
• RQ3 このような方程式の $ L_p $-理論を、$ \alpha \in (0,2) $ の非局所作用素および一般の Lévy ノイズに拡張できるか？
• RQ4 放物型条件は、初期値問題の適切に定義されていること（well-posedness）を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 入力データが不規則な場合、$ L_p $-ソボレフ設定において解をどのように近似できるか？

主な発見

• 適切な可積分性および放物型条件のもとで、確率的放物型積分微分方程式の解 $ u $ は空間 $ \mathbb{H}_p^{\beta + \alpha}(E) $ において存在し、一意的である。ここで $ \beta \geq 0 $ である。
• 解は $ \mathbb{H}_p^{\beta + \alpha}(E) $ において事前推定を満たし、初期データ $ u_0 $、外力項 $ f $、ジャンプ関数 $ g $、ノイズ係数のノルムに依存する。
• 近似列 $ u_n $ のコーシー推定に基づく収束により、$ \mathbb{H}_p^{\beta + \alpha}(E) $ における解の極限の存在が保証される。
• 解 $ u $ は $ H_p^\beta(\mathbb{R}^d) $-値であり、時間に関して右連続で左極限をもつ（càdlàg）ことから、確率的意味での経路の正則性が確認される。
• 解の一意性は、コロナリー23に依拠しており、放物型条件の厳密な正の性質および非局所作用素の構造に依存する。
• この枠組みは、ジャンプ過程を伴う非線形フィルタリングにおける Zakai 方程式に直接適用可能であり、最適二乗平均推定のための厳密な $ L_p $-理論を提供する。