[論文レビュー] On L-spaces and left-orderable fundamental groups

Steven Boyer, Cameron McA. Gordon+1 more|Archipelago (Université du Québec à Montréal)|Jul 25, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、非双曲的幾何的3次元多様体および非自明な交代リンクの2重被覆を含む広範なクラスについて、L空間と左順序可能でない基本群をもつ3次元多様体との間の対応関係を確立する。これらの多様体に対して、L空間であることと基本群が左順序可能でないことは同値であり、また、交代リンクの2重被覆の基本群が左順序可能であることと、そのリンクが2本以上の成分をもつ自明なリンクであることとは同値であることを示している。

ABSTRACT

Examples suggest that there is a correspondence between L-spaces and 3-manifolds whose fundamental groups cannot be left-ordered. In this paper we establish the equivalence of these conditions for several large classes of such manifolds. In particular, we prove that they are equivalent for any closed, connected, orientable, geometric 3-manifold that is non-hyperbolic, a family which includes all closed, connected, orientable Seifert fibred spaces. We also show that they are equivalent for the 2-fold branched covers of non-split alternating links. To do this we prove that the fundamental group of the 2-fold branched cover of an alternating link is left-orderable if and only if it is a trivial link with two or more components. We also show that this places strong restrictions on the representations of the fundamental group of an alternating knot complement with values in Homeo_+(S^1).

研究の動機と目的

• 3次元多様体の基本群の左順序可能性とL空間との関係を調査すること。
• 有理数係数3次元球面がL空間であるための必要十分条件が、その基本群が左順序可能でないことであるという予想を検証すること。
• 非双曲的幾何的3次元多様体および非自明な交代リンクの2重被覆を含む広範なクラスの3次元多様体について、この同値性を確立すること。
• 結び目の基本群からHomeo+(S¹)への表現の構造を分析し、それらが左順序可能性に与える影響を検討すること。

提案手法

• 閉じて、連結で、向きつけ可能なセイフェルト被覆3次元多様体に対して、その多様体がL空間であることと、その基本群が左順序可能でないこととは同値であることを証明する。
• Boyler-Rolfsen-WiestおよびLisca-Stipsiczの結果を用いて、セイフェルト被覆の場合を確立する。
• 非自明な交代リンクの2重被覆を分析し、その基本群が左順序可能であることと、リンクが2つ以上の成分をもつ自明なリンクであることとは同値であることを示す。
• 表現論を用いる：結び目の基本群からHomeo+(S¹)への準同型 ρ で ρ(μ²)=1 を満たすものについて、その表現が ℤ/2 に因数分解することを示す。
• Euler類の消滅とHomeo+(S¹)の万有被覆への上昇を用いて、群が左順序可能でない場合に、その上昇が自明になることを示す。
• 共変方向のタイトなファイブレーションと、左順序可能でない有限指数部分群との関係に関する結果を応用し、より広範な予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L空間は、基本群の左順序可能性という観点から特徴づけられるか？
• RQ2 どのクラスの3次元多様体について、基本群が左順序可能でないことが、その多様体がL空間であることと同値となるか？
• RQ3 非自明な交代リンクの2重被覆の基本群の構造はいかなるものか？
• RQ4 結び目の基本群からHomeo+(S¹)への表現は、基本群の左順序可能性にどのような制約を与えるか？

主な発見

• 任意の閉じて、連結で、向きつけ可能で、非双曲的幾何的3次元多様体について、その多様体がL空間であることと、その基本群が左順序可能でないこととは同値である。
• 非自明な交代リンクの2重被覆の基本群が左順序可能であることと、そのリンクが2つ以上の成分をもつ自明なリンクであることとは同値である。
• 3次元多様体の基本群が左順序可能でない場合、任意の結び目の基本群からHomeo+(S¹)への準同型 ρ で ρ(μ²)=1 を満たすものについて、その像の位数は2で割り切れる。
• このような表現のEuler類は消えるため、Homeo+(S¹)の万有被覆に上昇可能であり、群が左順序可能でない場合には上昇が自明になる。
• 交代結び目に対しては、任意のこのような表現はホモロジーを経由して因数分解され、像はミンサーの像によって生成され、その位数は2で割り切れる。
• 2重被覆のトレース体に実埋め込みが存在する場合、表現はPSL₂(ℝ)に共轭可能であるが、上記の制約によりこれは排除され、したがって表現は有限であることが示される。