[論文レビュー] On lacunary statistically quasi-Cauchy sequences

Hüseyi̇n Çakallı, Çiğdem Gündüz Aras+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2011

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、実関数における欠損統計的ウォード連続性を導入し、調査する。特に、ℝ の欠損統計的ウォードコンパクト部分集合上でこのような連続性が成り立つならば、一様連続性が成立することを確立する。主な貢献は、一様連続性の特徴付けを、欠損統計的擬コーシー列の保存を通じて行うものであり、統計的および欠損統計的枠組みにおける逐次連続性およびコンパクト性に関する先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

The main object of this paper is to investigate lacunary statistically ward continuity. We obtain some relations between this kind of continuity and some other kinds of continuities. It turns out that any lacunary statistically ward continuous real valued function on a lacunary statistically ward compact subset $E\subset{ extbf{R}}$ is uniformly continuous.

研究の動機と目的

• 欠損統計的ウォード連続性と呼ばれる新しい逐次連続性の形式を定義し、調査すること。
• ウォード連続性、ゆっくり振動する連続性、および Nθ-ウォード連続性などの他の種類の逐次連続性との関係を調査すること。
• 欠損統計的ウォード連続性が一様連続性を示す条件を確立すること。
• 欠損統計的擬コーシー列の保存を通じて一様連続性を特徴付けること。
• 統計的および欠損統計的枠組みにおける逐次コンパクト性および連続性に関する既存の結果を拡張すること。

提案手法

• 差列 Δαₙ の欠損統計的極限を用いて、欠損統計的擬コーシー列の概念を導入する。
• 関数 f が、欠損統計的擬コーシー列を保存する場合に、実関数 f を欠損統計的ウォード連続と定義する。
• 任意に小さい距離のペアの点から、関数差が有界であるような欠損統計的擬コーシー列を構成するための構成的補題を用いる。
• 背理法を用いる：非一様連続性を仮定すると、その像が欠損統計的擬コーシー列でない欠損統計的擬コーシー列が得られる。
• 特に、擬コーシー列と一様連続性の関係を示す、統計的および Nθ-収束理論における既知の結果に依拠する。
• 先行研究の定理（例：[9], [28]）を応用し、さまざまな種類の逐次連続性の間の同値性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 欠損統計的ウォード連続性が一様連続性を示す条件は何か？
• RQ2 欠損統計的ウォード連続性は、ウォード連続性、ゆっくり振動する連続性、Nθ-ウォード連続性などの他の逐次連続性とどのように関係しているか？
• RQ3 一様連続性は、欠損統計的擬コーシー列の保存を通じて特徴付けられるか？
• RQ4 欠損統計的ウォードコンパクト性と一様連続性の関係は何か？
• RQ5 欠損統計的ウォード連続関数のクラスは、一様収束に関して閉集合をなすか？

主な発見

• ℝ の欠損統計的ウォードコンパクト部分集合上で欠損統計的ウォード連続である任意の実数値関数は、一様連続である。
• 関数 f が区間 E 上で一様連続であることは、E 内のすべての擬コーシー列を、欠損統計的擬コーシー列に写像することと同値である。
• 欠損統計的ウォード連続性は、ウォード連続性およびゆっくり振動する連続性の両方を含意する。
• 欠損統計的ウォード連続関数による、欠損統計的擬コーシー列の像も、再び欠損統計的擬コーシー列である。
• E ⊂ ℝ の部分集合上で定義されたすべての欠損統計的ウォード連続関数の集合は、E 上のすべての連続関数の空間の閉部分集合である。
• 欠損統計的ウォード連続関数の列の一様極限は、自身もまた欠損統計的ウォード連続である。